Некоторые соображения о выборе вида эмпирической формулы

Лабораторная работа №7.

Тема: Метод наименьших квадратов

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y:

Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между х и у, т. е. некоторой формулы y=f(x), явным образом выражающей у как функцию х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y=f(x) изменялся плавно и не слишком отклонялся от экспериментальных точек (x_i , y_i). Поиск такой функциональной зависимости называют "сглаживанием" экспериментальных данных.

Задачу о сглаживании экспериментальных данных можно решать, используя метод наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов указывается вид эмпирической формулы

у= Q(x,a₀,a₁...,a_n), (1)

где а₍₎, а₁,...., а_п - числовые параметры.

Наилучшими значениями параметров а₀, a₁...,a_n (которые обозначим ᾶ₀,ᾶ₁,...,ᾶ_п) считаются те, для которых

сумма квадратов отклонений функции Q(x,a₀,a₁...,a_n) от экспериментальных точек (x_i,y_i) (i=1,2....,n) является минимальной, т.е. функция

в точке (ᾶ₀,ᾶ₁,...,ᾶ_n) достигает минимума. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров ᾶ₀,ᾶ₁,...,ᾶ_n:

Если система (3) имеет единственное решение ᾶ₀,ᾶ₁,...,ᾶ_n, то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными

определяется формулой

Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости (1) с двумя параметрами: у = Q(x,a,β). Используя соотношения (3) и опуская несложные выкладки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и β:

В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем

Система (4) для этого случая является линейной относительно неизвестных k и b:

Пусть для переменных х и у соответствующие значения экспериментальных данных (х_l, у_i) не располагаются вблизи прямой. Тогда выбирают новые переменные

так, чтобы преобразованные экспериментальные данные

в новой системе координат (X, Y) давали точки (X_i, Y_i) менее уклоняющиеся от прямой. Для аппроксимирующей прямой

числа k и b можно определить из уравнений (4), где вместо x_i и y_i , подставляют соответствующие значения X_i и У_i. Нахождение зависимостей (5) называют выравниванием экспериментальных данных

Некоторые соображения о выборе вида эмпирической формулы

Выбор подходящей эмпирической зависимости "на глаз" не всегда может привести к наилучшей зависимости. Приведем некоторые рекомендации другого выбора (см. таблицу 2)

Поиск по сайту: