Некоторые свойства пределов функций

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_

Кафедра высшей математики

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наукВ.Н.Борзунов

Примеры решения задач по теории пределов

Основные определения

Определение 1. Число A называется пределом последовательности , если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех натуральных выполняется .

В этом случае пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу A.

Пример.1. Используя определение предела последовательности, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, за число можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных , выполняется , следовательно . 

Пример.2. Используя определение предела последовательности, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, При всех натуральных , выполняется , следовательно . 

Пример.3. Используя определение предела последовательности, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, за число можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных , выполняется , следовательно . 

Определение 2. Число A называется пределом функцииf(x) в точке a, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→a и говорят, что предел функции f(x) в точке a существует и равен числу A.

Пример.4. Используя определение предела функции, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число δ(ε)>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , будет справедливо неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Таким образом, за число δ можно принять число или любое другое положительное число, меньшее, чем . При всех x, для которых справедливо , выполняется , следовательно . 

Определение 3. Число A называется пределом функцииf(x) в точке a слева, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→a–o и говорят, что предел функции f(x) в точке a слева существует и равен числу A.

Определение 4. Число A называется пределом функцииf(x) в точке a справа, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→a+o и говорят, что предел функции f(x) в точке a справа существует и равен числу A.

Определение 5. Число A называется пределом функцииf(x) при x→–∞, если для любого можно вычислить число x_o=x_o(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x<x_o, выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→–∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→–∞ существует и равен числу A.

Определение 6. Число A называется пределом функцииf(x) при x→+∞, если для любого можно вычислить число x_o=x_o(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x>x_o, выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→+∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→+∞ существует и равен числу A.

Пример.5. Используя определение предела функции, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число x_o(ε) такое, что для всех x>x_o, будет справедливо неравенство , то это значит, что Рассмотрим . Неравенство имеет два решения: или . Поскольку вычисляется предел f(x) при x→+∞, то выбираем первое решение x_o= . При всех x>x_o, выполняется , следовательно . Второе решение соответствует значениям x→–∞, предел f(x) при x→–∞ также равен , . 

Некоторые свойства пределов функций

Пусть: C постоянное число,

предел функции f(x) существует в точке a, ,

предел функции g(x) существует в точке a, .

Тогда: ,

,

,

,

, если .

Предел постоянной величины равен значению этой величины. При вычислениях, константу можно и рекомендуется выносить за знак предела. В условии, когда функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке, функции f(x)+g(x), f(x)∙g(x) также имеют пределы в этой точке. При дополнительном условии , существует предел функции f(x)/g(x).

Указанные свойства пределов функций будут соответственно справедливы в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞.

Эквивалентные функции

Определение 7. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными приx→a, если .

В этом случае пишут f(x) ~ g(x) при x→a и говорят, что при x→a функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x) и наоборот, функция g(x) асимптотически ведет себя как функция f(x). При вычислении пределов с использованием эквивалентных функций применяют следующие теоремы:

1. Пусть f(x) ~ g(x) при x→a, тогда , если один из этих пределов существует.

2. Пусть f(x) ~ f₁(x) и g(x) ~ g₁(x) при x→a, тогда , если один из этих пределов существует.

Можно сравнивать функции f(x) и g(x) в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞, при этом вычисляют пределы в соответствующих предельных точках. Например, если , то говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны в точке a слева и при x→a–o функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x). Если , то говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны при x→+∞ и пишут f(x) ~ g(x) при x→+∞.

§4. Таблица эквивалентных функций при x→0

1. sin(x) ~ x; 6. a^x ~ 1+x∙ln(a); 11. sh(x) ~ x, ;

2. cos(x) ~ ; 7. e^x ~ 1+x; 12. ch(x) ~ , ;

3. tg(x) ~ x; 8. log_a(1+x) ~ ; 13. th(x) ~ x, ;

4. arcsin(x) ~ x; 9. ln(1+x) ~ x;

5. arctg(x) ~ x; 10. (1+x)^α ~ 1+α∙x.

Поиск по сайту: