Добуток двох додатніх множників, сума яких стала, має найбільше значення при рівності множників (якщо множники можуть приймати однакові значення)

Доведення: 1. Нехай х + у = 2а. При х₁ = у₁ = а добуток х₁ у₁ = а².

Покажемо, що добуток х₂у₂, де х = а , у₂ = а , менше а².

Нехай х₂ = а + в, тоді у₂ = а – в; х₂у₂ = а² – в². Отже х₂у₂ < x₁y_1.

2. Розглянемо тотожність ху = [ ( x + y )² – ( x – y )² ].

При х + у = const добуток ( ху) має найбільше значення при

найменшому значенні ( х – у )², тобто х – у = 0 при х = у

3. Геометричне доведення:

Побудуємо на АВ = 2а = х + у півколо, як на діаметрі

При ОС = х₁ = у₁ = а маємо: ОС² = АО ВО = а²

При х = у , нехай х₂ = АD, тоді у₂ = DB

х² у² = АD DB = DF², DF < OC,

тому що DF – пів хорда, а ОС – радіус.

Узагальнимо теорему: Добуток двох множників х і у, пов’язаних відношенням

mx + ny = 2a, де m i n – додатні числа, буде найбільшим

при mx = ny = a, тобто при х = і у = .

При ху, що має найбільше значення, найбільше значення

має і mnxy , а так як mx + ny постійне, то mx = ny = a.

Задача 1

Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника.

Визначити її розміри так, щоб при даному периметр площа була найбільшою

( в рахунок периметра не входить спільна сторона прямокутника і трикутника).

Розв’язання:

1. х – сторона трикутника;

2. у – сторона прямокутника;

3. Периметр Р = 3х + 2у; = > у = ;

4. Площа: S_n = х у – прямокутника

S_т= - площа рівностороннього трикутника

5. S = ху + х²

S = х + х² = = [ 2р – х( 6 - )] ;

Значення х², при якому площа S буде найбільшою

визначають з рівняння:

( 6 - )х = 2р – ( 6 - )х

2х( 6 - ) = 2р

у = = = = , де = х

Відповідь: При розмірах х = ; у = площа буде найбільшою при заданому периметру

Теорема 2

Сума двох додатніх чисел, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності доданків.

Доведення:1). Дано: ху = а². Довести х + у 2a

При х у, сума х + у > 2a. Нехай х = а + в, тоді у = ; у > a – в.

Тоді х + у 2a. При х = у одержимо х + у = 2а.

2). Розглянемо тотожність: (x + y)² =(x – y)² +4xy

(x + y) має найменше значення при x – y = 0

3). Геометричне доведення:

Нехай xy = a²

Будуємо коло радіуса а.

При x = y будемо мати

x + y = 2a , при x y : ОЕ OF = a²

OE + OF = EF

EF > 2a , бо EF – діаметр,

а 2а – хорда нового кола.

Задача 1

Дано прямокутник ABCD , в якому AB = a , AD = b. Із вершини А провести січну AEF ( F – точка перетину січної з продовженням DC ) так, щоб сума BE + CF була найменшою.

Розв’язання:

Побудуємо точку E :

Продовжуємо AB на відрізок ВК = а і на АК,

як на діаметрі, будуємо півколо до перетину

у точці Е з стороною ВС. При а < b точка Е

лежить всередині відрізка ВС (АВ = а, АD = в )

При а > b точка Е лежить на продовженні ВС

АВ = ВС то точка Е співпадає з вершиною С

У квадраті шуканою прямою є діагональ АС.

Нехай ВЕ = x , CF = y, CE = b – x

Розглянемо АВС і FCE: AEB = FEC , як вертикальні, В = 90⁰ , С = 90⁰.

Отже, АВЕ FCE ( за гострими кутом – ознака подібності прямокутних трикутників)

Із подібності ABE i FCE випливає пропорційність сторін

= = або = або = => y = = - a

x + y = x + - a

Сума ( x + y) буде найменшою, якщо x = , а добуток x = const ;

x² = ab => x =

Теорема 3

Якщо сума декількох додатніх змінних Х, У, Z стала і дорівнює а, то добуток X^p, У^q, Z^r, де p, q, r – дані додатні числа, має найбільше значення у тому випадку, коли змінні пропорційні своїм показникам, тобто коли = = , якщо Х, У, Z можуть задовольнятися цим умовам.

Доведення:

Нехай p, q, r – дані цілі числа. При цих значеннях Х, У, Z, при яких добуток Х^p, У^q, Z^r досягає найбільшого значення, найбільшим буде і ( )^р ( )^q ( )^r

Добуток цей складається із p + q + r множників, сума яких стала і дорівнює а, так як

+ +… + = p = Х

+ +… + = q = У

+ +… + = r = Z

Маємо = = = ( на основі добутку декількох достатніх

змінних множників, сума яких стала, досягає найбільшого значення при рівності множників, якщо можна множники зробити рівними)

На основі властивостей рівних відношень маємо:

= = = =

X = ; Y = ; Z = .

Нехай показники p, r, q - числа дробові. Після зведення до спільного знаменника, одержимо

p = ; q = ; r = .

Шуканий добуток Х У Z досягає найбільшого значення при найбільших величинах Х , У , Z , а цей вираз має найбільше значення при

= = або = = => = =

Задача 1.

Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?

Нехай шуканий трикутник є АВС ( АВ = АС = Х,

ВС = У). Проводимо ВD АС. Знайдемо, що

y² = 2х² – 2х АD, але АD =

y² = 2х² – 2х = 2х² - =

Сума ( х² + 2R – x) – стала; добуток ( х² ( 2R – x ) ) має найбільше значення при

= => х = 4R – 2x => 3x = 4R => x = R

Трикутник, у якого сторона дорівнює R має найбільшу основу

Теорема 4.

Поиск по сайту: