Раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности

Первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .

Примеры.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. 

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
2. Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.
3. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.

Примеры.

1. Пусть f(x)=x²,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
2. Пусть f(x)=x²–4,g(x)=x²–5x+6 – бесконечно малые при x→2.

.

Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.

1. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.

.

Следовательно, f ≈ g.

1. – бесконечно малые при n→∞.

– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если и f ≈ f₁, g ≈ g₁, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при

x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x²∕2,log_a(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈ x,(1+x)^m–1 ≈ mx,a^x–1 ≈ xlna,e^x–1 ≈ x.

Примеры.

1. .
2. 

.

Теорема (правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры.

1. .
2. .
3. .
4. 
5. 

Обозначим .

Прологарифмируем это равенство . Найдем .

Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

Поиск по сайту: