Задачи для самостоятельного решения

Примеры решения задач

Пример 1. Найти .

Непосредственно теорему о пределе пределе частного применить нельзя, так как предел знаменателя при равен нулю. Здесь и предел числителя при также равен нулю. Следовательно, имеем неопределенность вида . Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в определении предела функции при значение функции в точке не выходит. Получаем

.

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность раскрыта. Применяя теорему об арифметических операциях над пределами, окончательно находим

.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при , и для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на х в старшей степени; величина дроби от этого не изменится. При этом, если в числителе и знаменателе многочлены одной степени, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если разной степени, то предел равен 0 или .

Пример 2. Найти .

Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему об арифметических операциях над пределами, получим

.

Пример 3. Найти .

Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим

.

Пример 4. Найти

Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим

,

так как при функция имеет предел, равный 1, функция ограниченная (докажите это самостоятельно), функция бесконечно малая (также докажите самостоятельно) и (произведение ограниченной на бесконечно малую), т. е. данная дробь, как обратная, есть бесконечно большая функция при .

Пример 5. Найти .

Так как функция непрерывна в точке , т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны, то, переходя к пределу, получаем

.

Пример 6. Найти .

Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке , т.е. не является непрерывной в этой точке. Поэтому сразу переходим к пределу, как в предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела надо функцию тождественно преобразовать так, чтобы она при совпала с некоторой функцией , непрерывной в точке , т.е. найти такую непрерывную функцию , чтобы при или . Для этого умножим числитель дроби на сумму :

.

Таким образом, при . Но функция непрерывна в точке , поэтому

.

Пример 7.Найти .

Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке . Для нахождения предела преобразуем дробь:

.

При имеем .

Но функция непрерывна в точке . Поэтому, переходя к пределу, получаем

.

При вычислении пределов функции при , и , содержащих радикалы, надо рассматривать арифметическое значение корня при и .

Пример 8.Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Во всех случаях имеем неопределенность вида .

1) При имеем , поэтому

.

2) При имеем , следовательно,

.

3) не существует, так как пределы при и при разные.

Пример 9. Найти .

Имеем неопределенность вида . При , , поэтому

.

Будем говорить, что сумма двух бесконечно больших функций разных знаков есть неопределенность вида .

В этом случае о пределе суммы ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать.

Пример 10. Найти 1) ; 2) .

1. Имеем неопределенность вида . Для нахождения предела умножим и разделим на сумму , в результате получим

.

Теперь имеем неопределенность вида . Для раскрытия данной неопределенности разделим дробь на , а затем перейдем к пределу. Получаем

;

2. , так как сумма двух положительных бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция (докажите самостоятельно).

Из 1) и 2), в частности, следует, что не существует.

Будем говорить, что произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую есть неопределенность вида .

Пример 11. Найти .

Имеем неопределенность вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив . Так как , то при новая переменная .Кроме того, если , то . Следовательно,

.

Получена неопределенность вида . Здесь удобно воспользоваться первым специальным пределом. Для этого преобразуем дробь:

.

Окончательно имеем

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. .

6.Доказать, что функция в точке не имеет предела.

Используя соответствующее определение предела «на языке », доказать, что:

7. . 8. .

9. . 10. .

11.

12.Доказать, что не существует.

Найти

13. . 14.

15. . 16. .

17. . 18. .

Найти:

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

37. .

38. .

39. . 40. .

41. . 42. .

43. .

Поиск по сайту: