Первый замечательные предел.

35.

Первый замечательный предел.

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1. 
2. 
3. 
4. 
5. для ,
6. 

Первый замечательные предел.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x®0

Д оказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMN<s_{секOMN< S∆OKN</s}

_{1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)< p=""> </tg(x)<>}

_{sin(x)<x<tg(x)< p=""> </x<tg(x)<>}

_{1<="" p="">}

_{lim (1-cos(1/n))=0}

^n®+¥

_{lim (1-cos(x))=0 Þ lim (cos(x))=1}

^{x®0 x®0}

_{lim (x/sin(x))=0}

^x®0

_x>0

_{lim (x/sin(x))=1}

^x®0

_{lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать}

^{x®0 x®0}

Поиск по сайту: