Мода та медіана випадкової величини

Математичне сподівання

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина

. (75)

Якщо Ω — обмежена множина, то

. (76)

Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

. (77)

Якщо Ω = (– ¥; ¥), то

. (78)

Якщо Ω = [a; b], то

(79)

Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С. (80)

Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.

2. М (СХ) = СМ (Х). (81)

Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

. (82)

Для дискретної випадкової величини:

.

Для неперервної випадкової величини:

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

обчислити М (Х).

Розв’язання. Згідно із (79) маємо:

Приклад 3. Дано щільність імовірностей

Обчислити М (Х).

Розв’язання.

Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність імовірностей

Тоді:

Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

(83)

Отже, медіану визначають із рівняння (83).

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.

Розв’язання.

Можливі значення випадкової величини:

Х = 0, 1, 2, 3.

Імовірності цих можливих значень такі:

p₁ = (0,2)³ = 0,008;

p₂ = 3р q² = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;

p₃ = 3p²q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;

p₄ = p³ = (0,8)³ = 0,512.

Запишемо закон таблицею:

Із таблиці визначаємо Мo = 3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей

Знайти а і F(x), Mo.

Розв’язання.

За умовою нормування маємо:

Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд

Графік f(x) зображено на рис. 53.

Рис. 53

Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.

Визначаємо Мe:

Отже,

Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

(84)

або при Х Î [а; b]:

. (85)

Отже, Ме— можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рів­ні частини.

4. Дисперсія та середнє
квадратичне відхилення

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Приклад 7. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:

Обчислити М (Х) і М (Y).

Розв’язання.

Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М (X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))

Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,

.

Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

. (86)

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

; (87)

для неперервної

. (88)

Якщо Х Î [а; b],

то . (89)

Властивості дисперсії

1. Якщо С — стала величина, то

. (90)

Справді

.

2. . (91)

Маємо:

3. Якщо А і В — сталі величини, то

. (92)

Адже

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

(93)

Доведення. Згідно з (86) дістаємо:

Для дискретної випадкової величини Х

; (94)

для неперервної

. (95)

Якщо Х Î [а; b], то

(96)

Слід пам’ятати, що дисперсія не може бути від’ємною величиною .

Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:

. (97)

Приклад 8. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Обчислити D (X), s (X).

Розв’язання. Згідно з (94) маємо:

Приклад 9. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з імовірністю q = 0,1 (p = 1 – q = 0,9 — імовірність того, що в лампочці дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х — число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити s (X).

Розв’язання. Дискретна випадкова величина Х — число лампочок, які будуть випробувані — набуває таких можливих значень:

Обчислимо відповідні ймовірності:

Адже четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а четверта — ні, або коли й четверта перегорить.

У табличній формі закон розподілу Х матиме такий вигляд:

Далі виконуємо такі обчислення:

Приклад 10. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х задано функцією

Обчислити D (X); s (X).

Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон розподілу таблицею

Приклад 11. Задано щільність імовірностей:

Обчислити D (X); s (X). Знайти Мо; Ме.

Розв’язання.

Графік f (x) зображено на рис. 54.

Рис. 54

Оскільки є максимальним значенням, то

Знаходимо F(x) =

Отже,

Приклад 12. Задано щільність імовірностей (рис 55).

Рис. 55

Обчислити D (X); s (X); Mе. Знайти Мо.

Розв’язання. За умовою нормування знайти ординату точки В:

.

На проміжку [–2; 0] .

На [0; 4] .

Отже, щільність імовірностей

Знаходимо функцію розподілу ймовірностей:

На проміжку [–2; 0]

На [–2; 4]

=

Отже, функцію розподілу ймовірностей можна подати у вигляді

Графік F(x) зображено на рис. 56.

Рис. 56

Далі обчислюємо D (X):

Для визначення Ме необхідно знайти проміжок, в якому вона міститься. Оскільки то медіана належить проміжку [0; 4].

Далі маємо:

Отже, Ме = Мо = 0.

Поиск по сайту: