Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Математический анализ.

Вопросы к экзамену по математике. ФТК. II семестр.

Группы 1082; 1084; 1088. (2014 год)

 

( на оценку 4 или 5 )

 

Алгебра.

 

1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.

2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.

3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).

4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).

5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).

6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.

7. Пространство правильных рациональных дробей с фиксированным знаменателем. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

8. Пространства и .

9. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.

10. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.

11. Перемножение матриц. Свойства.

12. Обратные и транспонированные матрицы.

13. Перемножение матриц, разбитых на блоки.

14. Матрицы элементарных преобразований.

15. Ортогональные матрицы.

16. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .

17. Перестановки.

18. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы ( по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу .

19. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.

20. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число. Определитель Вандермонда.

21. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.

22. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.

23. LU – разложение матрицы.

24. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.

25. .Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.

26. Однородные системы линейных уравнений.

27. Теорема Крамера.

28. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.

29. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.

30. Теорема Кронекера-Капелли.

31. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.

32. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.

33. Сумма и пересечение двух подпространств. Теорема о существовании для подпространства : .

34. Теорема о размерности прямой суммы, непрямой суммы двух подпространств.

35. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора . Связь матриц отображения в разных базисах.

36. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения. Дефект отображения.

37. Изоморфизм линейных пространств. Необходимое и достаточное условие существования изоморфизма.

38. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.

39. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.

40. Евклидовы и унитарные пространства. Матрица Грама системы векторов. Выражение скалярного произведения векторов через матрицу Грама. Связь матриц Грама разных базисов.

41. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема о знаке определителя матрицы Грама линейно независимой системы.

42. Ортогональное дополнение подпространства. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения.

43. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.

44. Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.

45. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.

46. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой

.

47. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

48. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.

 

Математический анализ.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.