The operator del used in vector analysis and defined as
where i, j, k are unit vectors in the direction of the x-, y- , and z-axes, respectively, and , , and are the respective partial derivatives of the given function of x, y and z. See also gradient, divergence, curl, Laplace operator.
Векторные поля
C:\Documents and Settings\Alex\Desktop\Лекции 2009\11 лекция 24 11 2009\fieldplot3d 1.mw
C:\Documents and Settings\Alex\Desktop\Лекции 2009\11 лекция 24 11 2009\fieldplot3d 2.mw
Градиент функции есть вектор, направленный в сторону возрастания U, его длина равна частной производной.
Примеры:
C:\Documents and Settings\Alex\Desktop\Лекции 2009\11 лекция 24 11 2009\Grad R.mw
C:\Documents and Settings\Alex\Desktop\Лекции 2009\11 лекция 24 11 2009\Div R.mw
C:\Documents and Settings\Alex\Desktop\Лекции 2009\11 лекция 24 11 2009\Rot R.mw
Законы сохранения
Механическая задача считается решенной, если известно положение движущейся частицы в любой момент времени.
Интегрируем.
Закон сохранения импульса
Импульс изолированной системы не изменяется при любых процессах происходящих внутри системы.
Закон сохранения импульса для отдельных компонент: , тогда .
В релятивистском случае: так как не существует центра масс, то нельзя интерпретировать движение системы как равномерное и прямолинейное движение центра масс. Т.е. не существует системы отсчета центра масс, в котором импульс равен 0.
Закон сохранения момента импульса
Момент импульса .
Момент силы .
Продифференцируем момент импульса по времени:
; -уравнение моментов
Для изолированной системы:
, ,
В инерциальной системе отсчета момент импульса изолированной системы остается постоянным при любых процессах, происходящих внутри системы.
У незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса, а его проекция на некоторую неподвижную ось. Пусть z компонента момента сил равна нулю.
, тогда .
Например, если система движется в вертикальном однородном поле силы тяжести
Закон сохранения энергии в нерелятивистском случае
Пусть m0 движется под действием F.
(3)
Умножая (3) на v, получаем:
но или .
Проинтегрируем:
То есть сумма кинетической и потенциальной энергий при движении остается постоянной.
Пример: Одномерное движение.
Закон сохранения энергии в релятивистском случае
Рассуждения относительно работы сил, потенциальности сил и потенциальной энергии справедливы и в случае скоростей, близких к скорости света.
Воспользуемся релятивистским уравнением движения.
Умножим скалярно на v:
Дифференцируем левую часть:
Сравним с нерелятивистским случаем:
То есть, вместо кинетической энергии в результате совершения работы изменяется величина
- полная энергия движущегося тела.
Если есть поле потенциальных сил U, то
- Закон сохранения энергии в релятивистском случае.
Если v=0, то , то есть энергия покоя. Если тело покоится, то его энергия не равна 0. То есть, тело обладает энергией, обусловленной наличием массы.
- масса растет со скоростью. Можно предполагать связь массы и кинетической энергии.
или
То есть, полная энергия равна кинетической энергии и энергии покоя.
- приращение энергии пропорционально ее релятивистской массы.