Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e1, e2, ..., en - базис в X. Обозначим через A e1 = (a11,...,an1), ... , A en = (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1, e2, ..., en .
Матрица
столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения
с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.
При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e1, ... , en} к базису e' = {e'1, ... , e'n} . Связь между матрицей Ae оператора A в базисе e и матрицей Ae' этого оператора в базисе e' задается формулой
Здесь
- матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.
32. 1. Определение квадратичной формы
Определение 6.1. Однородный многочлен второй степени от n переменных с действительными коэффициентами
n
∑ aiix²i+2∑ aijxixj aij принадлежит R
i=1 1≤i<j≤n
называют квадратичной формой
Если в этом
пространстве выбрать какой-либо базис, то квадратичную форму (6.1) можно трактовать как
функцию, значение которой определено через координаты x1, x2, . . . , xn вектора x. Эту функ-
цию часто отождествляют с квадратичной формой.
Квадратичную форму (6.1) можно записать в матричном виде:
(X в степени Т) Ax, (6.2)
где x = (x1 x2 . . . xn)в степени т
— столбец, составленный из переменных; A = (aij ) — симметрическая
матрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы (6.1)
Квадратичную форму
A1x1²+…+anxn² , αi ∈ R, i = 1, n, (6.5)
не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой кано-
нического вида. Переменные x1, . . . , xn, в которых квадратичная форма имеет канонический
вид, называют каноническими переменными.
Один из методов преобразования (или, как говорят, приведения) квадратичной формы к
каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных
квадратов. Такой метод называют методом Лагранжа.
Квадратичная форма называется положительно определённая, если А(хх)>0,х не равен 0
Билет 28
Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .
Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:
инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
(12.1)
где -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля.