Приклади розв'язання задач

Задача (1). Із точок А и В, що лежать у гранях двогранного кута, опущені перпендикуляри й на ребро кута. Знайдіть довжину відрізка , якщо , , і двогранний кут дорівнює (рис. 1).

Рис. 1

Рішення. Проведемо прямі й . Чотирикутник — паралелограм, значить . Пряма перпендикулярна площині трикутника , тому що вона перпендикулярна двом прямим у цій площині й . Отже, паралельна їй пряма теж перпендикулярна цієї площині. Виходить, трикутник — прямокутний із прямим кутом C. По теоремі косинусів
.
По теоремі Піфагора
.

Задача (2). У тригранного кута (abc)двогранний кут при ребрі спрямої, двогранний кут при ребрі b дорівнює , а плоский кут (bc)дорівнює . Знайдіть два інших плоских кути: , .

Рис. 2

Рішення. Опустимо з довільної точки А ребра а перпендикуляр AB на ребро bі перпендикуляр АС на ребро с (рис. 2). По теоремі про три перпендикуляри CB— перпендикуляр до ребра b.
Із прямокутних трикутників ОАВ, ОСВ, АОС, і АВС одержуємо:

Зауваження. Отримані залежності між кутами
—
дозволяють, знаючи два кути, знайти два інших.

Задача(3). У наклонній призмі проведен перетин, перпендикулярний боковим ребрам, і такий що перетинає всі бокові ребра. Знайдіть бокову поверхню призми, якщо периметр перетину дорівнює р, а бокові ребра рівні l.

Рис. 3

Рішення. Площина проведеного перетину розбиває призму на дві частини (рис. 4). Підвергнемо одну з них паралельному переносу, що з'єднує осови призми. При цьому одержимо пряму призму, у якій основою служить перетин вихідної призми, а бокові ребра дорівнюють l. Ця призма має ту ж боову поверхню, що й вихідна. Таким чином, бокова поверхня вихідної призми дорівнюєpl.

Задача(4). Бокове ребро піраміди розділене на чотири рівні частини й через точки ділення проведені площини, паралельні основі. Площа основи дорівнює 400 . Знайдіть площі перетинів.
Рішення. Перетини подібні основі піраміди з коефіцієнтами подобія , і . Площі подібних фігур відносяться як квадрати лінійних розмірів. Тому відносини площ перетинів до площі основи піраміди є , і . Отже площі перетинів рівні
, .

3адача(5). Доведіть, що бокова поверхня правильної усіченої піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему.
Рішення. Бокові грані усіченої піраміди — трапеції з однією і тією самою верхньою основою а, нижньою b і висотою (апофемою) l. Тому площа однієї грані дорівнює — . Площа всіх граней, тобто бокова поверхня, дорівнює — , де n — число вершин у основі піраміди, an і bn — периметри основ піраміди.

Задача (6). Знайдіть двогранні кути правильного тетраедра.

Рис. 4

Рішення. Проведемо з вершини S тетраедра висоти SA, SB, SC його граней, що сходяться в цій вершині, і висоту SO тетраедра (рис. 4). Якщо ребро тетраедра позначити через а, то висоти граней будуть рівні . З рівності висот SA, SB, SC слідує рівність відрізків OA, OB, OC. А вони перпендикулярні сторонам трикутника в основі тетраедра (по теоремі про три перпендикуляри). Звідси слідує, що точка О є центром окружності, що вписана в основу тетраедра. Отже, відрізки OA, OB, і OC рівні . Позначимо через двогранний кут при ребрі, що містить точку А. Тоді .

Очевидно, двогранні кути при інших ребрах тетраедра такі ж по величині.

Задача (7). Осьовий переріз циліндра — квадрат, площа якого Q. Знайдіть площу основи циліндра.
Рішення. Сторона квадрата дорівнює . Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює .

Задача (8). У циліндр вписана правильна шестикутна призма. Знайдіть кут між діагоналлю її бокової грані й віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.

Рис. 5

Рішення. Бокові грані призми — квадрати, так як сторона правильного шестикутника, вписаного в окружність, дорівнює радіусу (рис. 5). Ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані й віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю й боковим ребром. А цей кут дорівнює 45°, так як грані — квадрати.

Задача (9). Конус перерізан площиною, що паралельна основі, на відстаніd від вершини. Знайдіть площу перерізу, якщо радіус основи конуса R, а висота H.
Рішення. Переріз конуса утримується із основи конуса перетворенням гомотетії відносно вершини конуса з коефіцієнтом гомотетії . Тому радіус кола в перерізі Отже, площа перерізу
.

Задача (10). У піраміди всі бокові ребра рівні. Доведіть, що вона є вписаною в деякий конус.

Рис. 6

Рішення. Опустимо перпендикуляр SO з вершини піраміди на площину основи (рис. 6) і позначимо довжину бокових ребер піраміди через l. Вершини основи віддалені від точки O на одну у ту ж саму відстань
.
Звідси слідує, що наша піраміда вписана в конус, у якого вершиною є вершина піраміди, а основою — коло із центром O і радіусом R.

Задача (11). Через середину радіуса кулі проведена перпендикулярна йому площина. Як відноситься площа отриманого перерізу до площі великого кола?

Рис. 7

Рішення. Якщо радіус кулі R (рис. 7), то радіус кола в перерізі буде . Відношення площі цього кола до площі великого кола дорівнює .

Задача (12). Доведіть, що центр кулі, описаної біля правильної піраміди, лежить на її осі.

Рис. 9

Рішення. Опустимо перпендикуляр ОА із центра кулі О на площину основи піраміди (рис. 10). Нехай X — довільна вершина основи піраміди. По теоремі Піфагора

Таким чином, АХ одне й теж саме для будь-якої вершини основи піраміди. А це значить, що точка А є центром окружності, описаної біля основи піраміди. Отже, центр кулі О лежить на осі піраміди.

Задача (13). Куля радіуса R торкається всіх сторін правильного трикутника зі стороною а. Знайдіть відстань від центра кулі до площини трикутника.

Рис. 8

Рішення. Нехай A, B, C — точка дотику кулі зі сторонами трикутника (рис. 8). Опустимо із центра О кулі перпендикуляр на площину трикутника. ВідрізкиOA, OB і OC перпендикулярні сторонам. По теоремі про три перпендикуляри відрізки , і теж перпендикулярні відповідним сторонам трикутника.
З рівності прямокутних трикутників , , (у них катет загальний, а гіпотенузи дорівнюють радіусу) слідує рівність сторін: . Отже, — центр окружності, вписаної в трикутник. Радіус цієї окружності, як ми знаємо, дорівнює . По теоремі Піфагора знаходимо шукану відстань. Вона дорівнює .

Задача (14). Дві рівних кулі радіуса R розташовані так, що центр однієї лежить на поверхні іншої. Знайдіть довжину лінії, по якій перетинаються їхні поверхні.

Рис. 9

Рішення. Проведемо переріз через центри куль (рис. 9). Лінія, про яку йде мова в задачі, є окружність (теорема 20.6). Її радіус дорівнює висоті рівностороннього трикутника зі сторонами, рівними . Висота дорівнює . Отже, довжина лінії дорівнює .

Задача (15). Якщо кожне ребро куба збільшити на 2 см, то його об'єм збільшиться на 98 . Чому дорівнює ребро куба?

Рішення. Позначимо ребро куба через x, тоді , тобто . Рівняння має два корені: x=3, x=-5. Геометричний зміст має тільки не від'ємний корінь. Отже, ребро куба дорівнює 3 см.

Задача (16). У прямому паралелепіпеді сторони основиви а й b утворять кут . Бокова поверхня дорівнює S. Знайдіть його об'єм.

Рис. 9

Рішення. Позначимо висоту через х (рис. 10). Тоді
Звідси
Площа основи паралелепіпеда дорівнює . Об'єм дорівнює

Задача (17). У похилій призмі проведен переріз, перпендикулярний боковим ребрам і перетинаючий всі бокові ребра. Знайдіть об'єм призми, якщо площа перерізу Q, а бокові ребра рівні l.

Рис. 10

Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на дві частини (рис. 10). Піддамо одну з них паралельному переносу, що сполучає основи призми. При цьому одержимо пряму призму, у якій основою служить переріз вихідної призми, а висота дорівнює l. Ця призма має той же об'єм. Таким чином, об'єм вихідної призми дорівнює Ql.

Задача (18). Знайдіть об'єм усіченої піраміди із площами основ і ( ) і висотою h.

Рис. 11

Рішення. Доповнимо дану усічену піраміду до повної (рис. 11). Нехай х — її висота. Об'єм усіченої піраміди дорівнює різниці об'ємів двох повних пірамід: однієї із площею основи й висотою х, іншої із площею основи й висотою х-h.
З подоби пірамід знаходимо
Звідси Об'єм усіченої піраміди дорівнює:

Задача (19). Через середину висоти піраміди проведена площина, паралельна основі. У якому відношенні вона ділить об'єм піраміди?

Рис. 12

Рішення. Як ми знаємо, проведена площина відтинає подібну піраміду (рис. 12). Коефіцієнт подоби дорівнює відношенню висот, тобто .
Тому об'єми пірамід відносяться як . Отже, площина ділить нашу піраміду на частини, об'єми яких відносяться як
.

Задача (20). Знайдіть об'єм усіченого конуса, у якого радіуси основ і ( ), а висота h.

Рис. 13

Рішення. Доповнимо даний усічений конус до повного (рис. 490). Нехай x — його висота. Об'єм усіченого конуса дорівнює різниці об'ємів двох повних конусів: одного з радіусом основи й висотою x, іншого з радіусом основи й висотоюx-h.
З подоби конусів знаходимо x: , .
.

Поиск по сайту: