Расстояние от точки до плоскости

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Пусть , , тогда

Рис. 23

На (рис.23) – перпендикуляр, опущенный из на плоскость .

Расстояние между параллельными плоскостями.

Если плоскости параллельны, то все точки любой из них находятся на одинаковом расстоянии от второй плоскости. Поэтому под расстоянием между параллельными плоскостями будем понимать расстояние от любой точки одной из них до другой плоскости. Пусть параллельные плоскости и заданы соответственно уравнениями:

тогда

Рис. 24

Угол между плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двухгранных угла. Любой из этих углов называют углом между данными плоскостями. Пусть плоскости и β заданы соответственно общими уравнениями (12), (13). Линейный угол одного из двугранных углов, образованных этими плоскостями, равен углу между нормальными векторами

плоскостей: . Поэтому косинус угла вычисляется по формуле

В частности, плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Рис. 25

ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнения прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору

Так как через каждую точку пространства в данном направлении проходит единственная прямая, то так же, как и в случае плоскости, ее векторное параметрическое уравнение имеет вид:

(17)

где – точка прямой, а – направляющий вектор.

Пусть в аффинной системе координат : ,

. Векторное уравнение (17) эквивалентно трем скалярным:

(17’)

Рис. 26

Исключая из параметрических уравнений (17’) параметр t, приходим к каноническим уравнениям прямой. Если направляющий вектор прямой не имеет нулевых координат, то эти уравнения записываются так:

Если одна из координат вектора , например равна нулю, то эти уравнения имеют такой вид:

Заметим, что при , прямая параллельна плоскости . Наконец, если две координаты вектора , например равны нулю, то прямая определяется уравнениями:

, (20)

Прямая (20) параллельна оси .

Поиск по сайту: