Список использованной литературы.................................................. 16
Введение
В данной курсовой работе рассмотрено влияние внешних нагрузок на деформации строительной конструкции на примере стержня, путём применения различных математических моделей, и постановки соответствующего вычислительного эксперимента.
Эксперимент заключается в поочерёдном приложении к стрежню распределённых нагрузок различной величины и определению прогиба в средней точке с помощью различных математических моделей. Для проведения эксперимента выбрано три математические модели:
1) модель линейно-упругих деформаций
2) модель нелинейно-упругих деформаций
3) модель деформаций вызванных ползучестью материала
1. Описание применяемых моделей
1.1 Модель линейно-упругих деформаций:
Даная модель подразумевает линейную зависимость, где величина упругих деформации зависит от приложенной внешней нагрузки. В данной модели поведение стержня описывает закон Гука:
(1.1)
При этом функционал полной потенциальной энергии деформации равен разности между потенциальной энергией системы и работы внешних сил:
(1.2)
Продифференцировав данное уравнение по W и прировняв полученное выражение к нулю получаем:
(1.3)
Используя метод Ритца получаем:
(1.4)
1.2 Модель нелинейно-упругих деформаций:
Даная модель подразумевает наличие нелинейной зависимости между величиной деформаций и приложенной нагрузкой, и добавляет нелинейный член в функционал полной потенциальной энергии системы:
(1.5)
(1.6)
Продифференцировав по неизвестной переменной и прировняв функционал полной потенциальной энергии деформации к нулю и проведя ряд математических преобразований получаем следующее уравнение:
(1.7)
где:
(1.8)
(1.9)
(1.10)
Полученное уравнение можно решить с помощью метода итераций, полученное в результате значение подставляем в следующее уравнение и получаем прогиб в средней точке стержня:
(1.11)
1.3 Модель деформаций, возникающих в результате ползучести материала:
Даная модель подразумевает изменение величины прогиба стержня под действием статической нагрузки с течением времени из-за ползучести материала, из-за чего необходимо ввести новую переменную (переменную времени), а также функции влияния времени на величину прогиба. В таком случае функционал полной потенциальной энергии системы принимает следующий вид:
(1.12)
(1.13)
Прировняв данное уравнение к нулю, получим:
(1.14)
Для решения полученного уравнения так же придётся воспользоваться методом итераций.
2. Исходные данные
Для проведения вычислительного эксперимента в соответствии с номером варианта выбран стержень прямоугольного сечения, опёртый с двух сторон на неподвижные шарнирные опоры.
q
x, м
Рисунок 1- Схема стержня
z, м
L = 27м, длинна стержня;
H = 0,27м, высота сечения стержня;
, равномерно распределённая нагрузка;
Для решения нелинейно-упругой задачи принимаем стержень из стали
( , МПа), для решения задачи ползучести принимаем бетонный стержень ( , МПа), линейно-упругую задачу решаем, как для стального, так и для бетонного стержня.
3. Решение
3.1 Линейно-упругая задача
Необходимо определить величину прогиба стального стержня для каждой равномерно распределённой нагрузки с помощью уравнения выведенного из математической модели линейно-упругих деформаций стержня.
По аналогии вычисляем величину прогиба для каждой нагрузки:
Таблица 1 – Результаты решения линейно-упругой задачи для стального стержня
q, МПа
w, м
0,0134
0,27
0,016
0,32
0,0186
0,38
0,0212
0,43
0,0238
0,48
0,0264
0,53
Точно так же определяем величину прогибов бетонного стержня:
Таблица 2 – Результаты решения линейно-упругой задачи для бетонного стержня
q, МПа
w, м
0,0134
0,196183989
0,016
0,23424954
0,0186
0,27231509
0,0212
0,31038064
0,0238
0,34844619
0,0264
0,38651174
3.2 Нелинейно-упругая задача
Необходимо определить величину прогиба стального стержня для каждой равномерно распределённой нагрузки с помощью уравнения выведенного из математической модели нелинейно-упругих деформаций стержня.
Для решения уравнения необходимо применить метод итераций:
Аналогично определяем прогиб при других нагрузках:
Таблица 3 – Результаты вычислений методом итераций
w10
w11
w12
w13
w14
w15
w16
0,270921
0,27888
0,27960
0,27966
0,27967
0,27967
0,323487
0,33703
0,33880
0,33905
0,33908
0,33908
0,376054
0,39733
0,40115
0,40188
0,40202
0,40205
0,40205
0,428621
0,46012
0,46759
0,46952
0,47003
0,47016
0,47020
0,481188
0,52576
0,53933
0,54395
0,54557
0,54615
0,54636
0,533754
0,59459
0,61785
0,62811
0,63289
0,63517
0,63627
w17
w18
w19
w110
w111
w112
w113
w114
0,47021
0,47021
0,54643
0,54646
0,54647
0,63680
0,63706
0,63719
0,63725
0,63728
0,63729
0,63730
0,63730
Таблица 4 – Результаты решения нелинейно-упругой задачи для стального стержня
q, МПа
w, м
0,0134
0,27967
0,016
0,33908
0,0186
0,40205
0,0212
0,47021
0,0238
0,54647
0,0264
0,63730
3.3 Задача ползучести
Необходимо определить величину прогиба бетонного стержня для каждой равномерно распределённой нагрузки в разные моменты времени с помощью уравнения выведенного из математической модели деформаций ползучести бетонного стержня.
Где к- число шагов условной единицы времени, принимаем равное 10
Аналогично вычисляем прогиб при оставшихся нагрузках:
Таблица 5 – Результаты решения задачи ползучести для бетонного стержня
W1(t0)
W1(t1)
W1(t2)
W1(t3)
W1(t4)
W1(t5)
W1(t6)
W1(t7)
W1(t8)
W1(t9)
W1(t10)
R1
0,02011
0,02093
0,021784
0,022674
0,023599
0,024562
0,025564
0,026608
0,027693
0,028824
0,03
q1
0,196184
0,200129
0,204318
0,208769
0,213502
0,218541
0,223909
0,229633
0,235743
0,242271
0,249254
q2
0,23425
0,23896
0,243962
0,249276
0,254928
0,260944
0,267354
0,274188
0,281484
0,289279
0,297617
q3
0,272315
0,277791
0,283605
0,289784
0,296354
0,303348
0,310799
0,318744
0,327225
0,336287
0,34598
q4
0,310381
0,316622
0,323249
0,330291
0,33778
0,345751
0,354243
0,363299
0,372966
0,383295
0,394343
q5
0,348446
0,355453
0,362893
0,370798
0,379206
0,388155
0,397688
0,407855
0,418707
0,430303
0,442705
q6
0,386512
0,394284
0,402537
0,411306
0,420632
0,430558
0,441133
0,452411
0,464448
0,47731
0,491068
4. Анализ полученных результатов
4.1 Линейно-упругая задача
Рисунок 2 – график зависимости прогиба стержня (бетонного и стального) от приложенных внешних нагрузок
Проанализировав график зависимости величины прогиба от величины приложенной нагрузки, можно заключить, что при использовании математической модели линейно-упругих деформаций, конечная зависимость действительно линейна, что только подтверждает название математической модели.
4.2 Нелинейно-упругая задача
Рисунок 3 – график зависимости прогиба стального стержня от приложенных внешних нагрузок
Проанализировав график зависимости величины прогиба от величины приложенной нагрузки, можно заключить, что при использовании математической модели нелинейно-упругих деформаций, конечная зависимость действительно нелинейна, что только подтверждает название математической модели.
4.3 Задача ползучести
Рисунок 4 – график зависимости прогиба бетонного стержня от приложенных внешних нагрузок и от времени
Проанализировав график зависимости величины прогиба от величины приложенной нагрузки и от времени, можно заключить, что величина приложенной нагрузки влияет на форму и положение кривой на графике, однако, за условный период времени прирост прогиба составил 27% при любой нагрузке, что говорит о том, что внешняя нагрузка не влияет на прирост прогиба с течением времени, что подтверждает устоявшуюся парадигму о ползучести. Ползучесть, действительно свойство материала, и она никак не зависит от приложенных внешних нагрузок.
Заключение
В данной курсовой работе был поставлен вычислительный эксперимент с применением различных математических моделей. Анализ результатов показал наличие взаимосвязи между величиной нагрузки и величиной прогиба. Однако в разных моделях наблюдается разная зависимость.
На практике недостаточно использоваться математическую модель линейно-упругих деформаций для расчёта строительных конструкций, необходимо так же учитывать нелинейно-упругие деформации и ползучесть материала. Подобные расчёты действительно используется на практике, например при проектировании ПНЖБК учитываются не только линейные деформации, но и нелинейные и деформации ползучести.
Список использованной литературы
1. Математическое моделирование и расчет элементов строитель- ных конструкций: учеб. пособие / В. В. Карпов, А. Н. Панин; СПбГАСУ. – СПб., 2013 – 176 с