НАУЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ – ПРОЕКТ DEBIAN

ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ

Версия 5.0

Граница России проходит

через каждый компьютер,

подключенный к Интернет!

Первые 12 задач школьные, правда, некоторые из них весьма трудные.

Следующие 15 задач тоже вполне по силам школьникам, т.к. не используют специальных знаний.

Все остальные вопросы могут стать основой:

· доклада,

· реферата,

· обзора,

· курсовой работы,

· выпускной работы,

· проекта,

· магистерской диссертации,

· кандидатской диссертации,

· докторской диссертации,

· даже делом всей жизни!

Некоторые вопросы –это не вопросы, а целые направления.

Очень актуальные.

Нужно выбрать свое направление или несколько направлений, близких вашим склонностям, и накапливать знания и навыки, чтобы:

· через 2 года стать Знатоком,

· через 5 лет Специалистом,

· через 10 лет уникальным специалистом,

· Гуру и Мастером.

Как нужно учить математику,

По версии Гете, поэма «Фауст»

УЧЕНИК

Всё дико мне! В мозгу моём

Всё завертелось колесом.

МЕФИСТОФЕЛЬ

Затем, первей всего, займитесь неизбежно

Вы математикой: учитесь ей прилежно;

Глубокомысленно трудясь,

Вместить старайтесь то, что отродясь

В мозг человеческий не входит;

Вместите ль, нет ли - не беда:

Словечко громкое всегда

Из затрудненья вас выводит!

Но в первые полгода, милый друг,

Порядок вам нужнее всех наук;

Вам в день занятий пять часов нормально:

С утра к звонку являйтесь пунктуально!

Старайтесь раньше дома протвердить

Параграф, чтобы в классе проследить,

Что вам твердит учитель, слово в слово,

Лишь то, что в книге, - ничего другого,

И так старательно пишите всё в журнал,

Как будто б дух святой вам диктовал.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

(начиная с задачи № 10 для всех)

1. Рассмотреть треугольник, состоящий из высот исходного треугольника. При каких условиях на исходный треугольник существует треугольник из высот. Как площадь высотного треугольника связана с площадью исходного. Рассмотреть высотный треугольник высотного треугольника и т.д.

2. Предыдущий вопрос для треугольника из биссектрис. Для справки, треугольник из медиан всегда существует и его площадь равна ¾ площади исходного треугольника.

3. Найти все треугольники, если они существуют, у которых площадь является средним геометрическим площадей вписанной и описанной окружностей.

4. Найти все треугольники, если они существуют, у которых периметр является средним арифметическим длин вписанной и описанной окружностей.

5. Найти все четырехугольники, если они существуют, у которых площадь является средним геометрическим площадей вписанной и описанной окружностей.

6. Найти все четырехугольники, если они существуют, у которых периметр является средним арифметическим длин вписанной и описанной окружностей.

7. Найти все треугольники, у которых стороны и площади являются целыми числами.

8. Найти все четырехугольники, у которых стороны и площади являются целыми числами.

Комментарий. Задачи только по форме геометрические. На самом деле они по теории чисел. Являются подготовкой к задачам по криптографии.

9. Вычисление структуры полугруппы, порожденной функциями: - модуль, целая часть, дробная часть, знак числа.

10. Применение логарифмов Якоби при решении алгебраических уравнений в конечных полях. Пусть g – примитивный элемент поля P, т.е. все ненулевые элементы P являются степенями элемента g. Логарифмом Якоби L(i) называется функция, задаваемая формулой , где q – количество элементов в поле P.

Комментарий. Задачи №№ 9, 10 - технические, но требуют упорства и небольшого математического профессионализма и, поэтому, по силам многим.

11. Функция Эйлера от натурального числа n равна количеству натуральных чисел, меньших n и не имеющих с n общих делителей, кроме 1. Пусть - десятичная запись числа n. Назовем число n «дьявольским», если . Найти все дьявольские числа. Название связано с тем, что .

Решить эту задачу для 3-й, 5-й и 16-ричной систем счисления.

12. Пусть - функция Эйлера и - десятичная запись числа n. Назовем число n «числом Пингвина», если . Найти все числа Пингвина или доказать, что их бесконечно много. Название связано с тем, что , а Пингвин Tux – официальный талисман Linux, создан в 1996 г. Ларри Юингом.

Комментарий.Две забавные задачи № 11, 12, которые нужно решать вначале на компьютере, составить программу и найти все искомые числа. А после этого доказать, что других чисел нет. Программировать можно на чем угодно: GAP, Maple, Sage, Axiom и т.д. или даже на Python или C/C++. Кстати, таких, казалось бы странных видов чисел, в математике сотни видов и поиском их занимаются сотни тысяч людей.

Литература

1. Мир математики: в 40 т. Т. 21: Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии./ Пер. с исп. - М.: Де Агостини, 2014. - 160 с.

2. Мир математики: в 40 т. Т . 31: Хоакии Наварро. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики. / Пер. с исп. - М.: Де Агостини, 2014. - 160 с.

3. Мир математики: в 40 т. Т. 43. Луис Фернандо Ареан. Существуют ли неразрешимые проблемы Математика, сложность и вычисление. / Пер. с исп. - М.: Де Агостини, 2014. - 160 с.

Алгебраические задачи

13. Алгоритм решения квадратных уравнений в конечных полях и его применение в криптографии.

Комментарий.Алгоритм извлечения квадратных корней используется в нескольких важных для теории и практики алгоритмах шифрования, электронной подписи и криптографических протоколах. Например, в криптосистеме Рабина. В некоторых отношениях эти алгоритмы даже предпочтительнее сверх знаменитого RSA.

14. Гипотеза Коллатца (поставлена в 1937 г), проведение вычислительных экспериментов с использованием пакетов компьютерной алгебры. Например, проверки того, что длина цепочки, начинающейся с нечетного числа n, если отбросить четные члены, не превышает .

Формулировка гипотезы. Берем натуральное число n. Если оно четное, то делим его на 2 до тех пор, пока оно не станет нечетным. Пусть при этом получится m. Заменяем n на 3m+1. Полученное число опять делим на 2 и т.д. Доказать, что каково не было исходное число n всегда в итоге получится 1.

Пример.Возьмем n = 9. Вычисляем

9 -> 28 -> 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 13 -> 40 -> 5 -> 16 -> 1,

если отбросить четные член, то получим 9 -> 7 -> 11 -> 17 -> 13 -> 5 -> 1.

Длина цепочки 6, в то же время . Гипотеза подтверждается.

Комментарий.Задача до сих не решена. В силу простоты формулировки ею занимаются тысячи энтузиастов, иногда забросив все остальные дела. На суперкомпьютерах проверены очень большие числа. В августе 2009 г. запущен проект добровольных распределенных вычислений «Collatz Conjecture» - официальный сайт http://boinc.thesonntags.com/collatz/.

15. Моделирование вычислений средствами конечных автоматов и машин Тьюринга с использованием программы JFLAP Version 7.0 официальный сайт http://www.jflap.org/.

Комментарий.Конечным автоматом является любое электронное устройство, в том числе Ваш домашний компьютер и суперкомпьютер TIANHE-2 (MILKYWAY-2) уже три года, возглавляющий TOP 500 самых мощных компьютеров мира. Конечными автоматами задаются Бернсайдовы группы, одни из самых загадочных объектов в алгебре. При помощи конечных автоматов проверяют криптографические протоколы, моделируют защищенные информационные системы и т.д. Одним словом, крайне полезный инструмент, как ложка и вилка за столом.

16. Пусть p- нечетное простое число, - p-мерное пространство. Найти все минимальные множества L векторов, с координатами из 0 и 1, такие, что каждый вектор из V, ортогонален, хотя бы одному вектору из L.

Комментарий. Трудная, не решенная до сих пор задача, важная для комбинаторики и теории Бернсайдовых групп «Примеры Бернсайдовых групп до сих пор производят впечатление лунного грунта» (известный ученый проф. Ю.И. Мерзляков). Задача легко решается для p = 3, но уже для p = 5 ее решение не известно.

17. Пусть S(n) – сумма цифр целого числа n. Проверить для чисел меньших миллиона, что выполняется неравенство , где n! – факториал числа,

т.е. .

Комментарий.Задача двойственная знаменитой формуле Стирлинга . Задача не решена, поскольку связь числа с суммой цифр в его записи крайне прихотлива и мало исследована. Задача предложена Рожковым А.В. в 2012 г. Проверена до чисел, меньших 100 тыс. При дальнейших вычислениях возможно уточнение формулировки.

18. Пусть S(N) – сумма цифр целого числа N. Число N называется совершенным, если S(N) = N. Числа N и S(N) называются дружественными, если . Существуют ли обобщения совершенных и дружественных чисел, такие, что , где k = 3,4,… Известно, что при k = 4,5 такие числа есть.

Комментарий.Задача имеет двухтысячелетнюю историю и до сих пор не решена.

Литература.

1. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра, 2-е изд. [Электронный ресурс]. - СПб.: Лань, 2015. - URL: http://e.lanbook.com/view/book/67458/

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2012. – 272 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. - М.: МЦНМО, 2012. – 368 с.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. 3-е изд. - М.: МЦНМО, 2012. – 272 с.

5. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Курс лекций по алгебре [Электронный ресурс]. - СПб.: Лань, 2015. - URL: http://e.lanbook.com/view/book/65042/

НАУЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ – ПРОЕКТ DEBIAN

19. Проект Minix и история создание Linux. Во что выливается студенческая дипломная работа, на примере Линуса Торвальдса.

20. История развития ядра Linux – изменение функционала. Политика развития проекта – свободное ядро Linux.

21. Проект GNU Linux. История развития и текущее состояние.

22. Файловые системы Linux – история, функционал, защищенность.

23. Проект LFS (Linux From Scratch) – Linux с нуля. Создание собственных дистрибутивов.

24. Дистрибутив для научного программирования Debian. История создания, идеология формирования.

25. Дистрибутив для обучения и научного программирования Debian Edu – Skolelinux – история создания, функционал.

26. Debian 7 – Wheezy – первый дистрибутив Debian, поддерживающий multiarch support – установку программ и библиотек разных архитектур на одной системе. В чем суть технологии и как она реализована в Debian. Верно ли, что это новое слово в теории файловых систем?

27. Система Debian. Работа с математическими пакетами.

28. Создать загрузочную флешку Live CD 8 Гб на основе Debian 7 с предустановленными GAP, Sage, PARI/GT, Axiom, Maxima, Python, C/C++, Maple, GMP, LibreOffice, LaTeX. Аналогичную sage_6.4-debian_wheezy-live.

29. Создать загрузочную флешку Live CD 30 Гб на основе Win 8.1 с предустановленными LaTeX, GAP, Python, PARI/GT, Maple, MS Office, MS Visual Studio и функционалом реаниматора. Аналогичную sage_6.4-debian_wheezy-live.

Комментарий. Debian считается самым надежным и функциональным дистрибутивом для научных вычислений. В его депозитарии более 37 тыс. пакетов из которых 10 тыс. научных. Проект имеет выраженную образовательную направленность. Немало бесплатных пакетов компьютерной алгебры встроены в его архитектуру. Все многообразие расширений языка Python включено в Debian. С 2013 г. Debian 6 используется вместо Windows на всех ноутбуках Международной космической станции (МКС). Используется благодаря большей надежности, а не бесплатности!

Также с 2013 г. Debian стал платформой мощного средства анализа защищенности компьютерных систем Kali Linux (бывший BackTrack), содержащего около 500 утилит и программ компьютерной безопасности.

Из-за активной информационной войны, которая ведется против России, крайне важно переходить на свободное программное обеспечение. К этому нас призывает не только просвещённая и патриотичная общественность, но и государство.

Распоряжение Правительства РФ. Об утверждении плана перехода федеральных органов исполнительной власти и федеральных бюджетных учреждений на использование свободного программного обеспечения на 2011 - 2015 годы от 17.12.2010 № 2299-р.

Поэтому «Все за изучение Debian!» или любого другого Linux.

Литература.

1. Иртегов Д.В. Введение в операционные системы. 2-е изд. – СПб.: БХВ, 2008. – 1040с.
2. Олифер В., Олифер Н. Сетевые операционные системы. Учебник. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2009. – 669 с.
3. Негус К., Каэн Ф. Ubuntu и Debian Linux для продвинутых: более 1000 незаменимых команд. – СПб.: Питер, 2011. – 352 с.
4. Немет Э., Снайдер Г., Хейн Т., Уэйли Б. Unix и Linux: руководство системного администратора. 4- изд. – М.: Вильямс, 2012. – 1312 с.
5. Робачевский А.М., Немнюгин С.А., Стесик О.Л. Операционная система UNIX. 2-е изд. – СПб.: БХВ, 2010. – 656 с.
6. Таненбаум Э., Остин Т. Архитектура компьютера. 6-е изд. – СПб.: Питер, 2013. – 816с.
7. Таненбаум Э. Бос Х. Современные операционные системы, 4-изд. Питер. 2015.
8. Паттерсон Д., Хеннеси Д. Архитектура компьютеров и проектирование компьютерных систем, 4-е изд. 2012.

Поиск по сайту: