Действия над комплексными числами

Лекция

Комплексные числа.

Определение

Комплексным числом zназывается выражение , где a и b– действительные числа,i– мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частьючисла z (a = Re z), а b-мнимой частью(b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение

Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение

Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Геометрическое изображение комплексного числа.

Всякое комплексное число можно изобразить точкойM (a, b) и взять a =Re z , а b = Im z комплексного числа.

Плоскость на которой изображаются комплексные числа, называются комплексной плоскостью.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При ось Ох будет являться действительной числовой осью, а ось Оу - мнимой осью.

Комплексное числотакже можно изобразить на комплексной плоскостив виде радиус-вектора ОМ

OM = (a, b)

Длина радиус-вектора ОМ называется модулем комплексного числа.

OM - модуль комплексного числа

При этом величина rназывается модулемкомплексного числа, а угол j-аргументомкомплексного числа.

Аргумент комплексного числа Z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2 k,где k целое число.

главное значение аргумента.

При решение задач чаще всего используют главное значение аргумента. Для комплексного числа z=0 –аргумент не определен.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула называется формулой Эйлера.

Выражение вида называется показательной формой записи комплексного числа, где r - модуль комплексного числа, аj-аргументомкомплексного числа

Действия над комплексными числами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

3) Деление.

4) Возведение комплексного числа в степень.

,

где n –целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

5) Извлечение корня из n– ой степени комплексного числа.

Таким образом, корень n– ой степени из комплексного числа имеет n различных значений для k=0,1,...,n-1.

Поиск по сайту: