ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИММЕТРИИ

В кристаллографии используют специальные геометрические образы, называемые элементами симметрии.

В кристаллах наиболее важны центр, ось и плоскость симметрии. Не следует думать, что эти понятия физически существуют в кристаллах: это воображаемые точки, прямые и плоскости для описания свойств симметричности кристалла.

Центр симметрии - точка внутри кристалла, делящая пополам любую проведенную через нее прямую, ограниченную поверхностью кристалла. В "центросимметричном" кристалле все точки (в частности, вершины) - соответственные, парные, а все прямые, соединяющие парные точки, пересекаются в центре симметрии. Из парных точек складываются парные ребра и парные грани; в центросимметричном кристалле они всегда перевернуты друг относительно друга (но не обязательно должны отличаться друг от друга). На чертежах кристаллов центр симметрии отмечают точкой и обозначают буквой С.

Центр симметрии имеется в кубе, октаэдре и во многих других многогранниках гораздо менее симметричной формы (рис. 4, а). Из рис. 3, г заключаем, что в кристалле гемиморфита центра симметрии нет.

Ось симметрии (рис. 4, б) - воображаемая прямая, при повороте вокруг которой кристалл дважды или более раз за один полный оборот совмещается со своим первоначальным положением. Количество этих совмещений называется порядком оси симметрии. Ось изображают прямой линией и обозначают буквой L с индексом, указывающим порядок. Осевая симметрия свойственна многим окружающим нас предметам. Карточные валеты, дамы и короли имеют оси симметрии 2-го порядка, перпендикулярные к плоскости карты. Кастрюля с двумя ручками тоже имеет ось симметрии L₂, а кастрюля без ручек - это "тело вращения" с осевой симметрией бесконечного порядка L∞.

Рис. 4. Элементы симметрии кристаллов: центр (а); ось (б); плоскость (в)

В кристалле может быть одна или несколько осей симметрии одинакового или разных порядков, а может не быть ни одной оси. В кубе, например, имеются: четыре оси L₃, каждая из которых проходит через две противолежащие вершины, совпадая с одной из пространственных диагоналей куба; три оси L₄, проходящие через центры противолежащих граней; шесть осей L₂, преходящих через середины противолежащих ребер. Все оси пересекаются в одной точке, которая в кубе служит центром симметрии.

В кристалле кварца (рис. 3,в) продольная ось служит осью L₃; кроме того, имеются еще три оси L₂, каждая из которых проходит через середины противолежащих боковых ребер. Все эти четыре оси опять-таки пересекаются в одной точке.

Кристалл гемиморфита имеет только одну ось симметрии 2-го порядка. Ее легко найти, пользуясь рис. 3, г. В кристалле аксинита ( рис. 3, д) совсем нет осей симметрии.

В отличие от других симметричных предметов кристаллы могут иметь оси симметрии только 2-, 3-, 4- и 6-го порядков. Как и все специфические свойства кристаллов, это связано с упорядоченностью их внутреннего строения. Поясним это на примере рис. 1, б. Чтобы весь объем кристалла был заполнен полностью без промежутков элементарные ячейки («кирпичи укладки») должны быть одинаковыми по размерам и форме и укладываться одним и тем же способом. Нетрудно убедиться, что для этого годятся только параллелепипеды и шестигранные призмы. При попытке заполнить пространство, скажем, пяти- либо семигранными призмами неизбежно останутся пустоты, и для кристаллов такие "кирпичи" не подойдут. В связи с этим для внешней формы кристаллов невозможны оси симметрии L₅, L₇ и т. д. В формах органической природы такие оси, наоборот, широко распространены. Так, симметрия L₅ и L₇, присуща цветам шиповника, морским звездам, многим мелким организмам.

Плоскость симметрии - воображаемая плоскость, делящая кристалл на две зеркально-равные части - одна часть как бы является зеркальным отражением другой. Зеркально равны правая и левая руки. Сложите их ладонями: разделяющая ладони плоскость - это плоскость симметрии. На кристалле с плоскостью симметрии обязательно найдется хотя бы пара граней, связанных между собой как предмет и его зеркальное отражение (рис. 4, в). В кубе девять плоскостей симметрии, в кристалле гемиморфита (рис 3,г) - две, в кристалле аксинита (рис. 3,д) - ни одной. Плоскость симметрии обозначают буквой Р.

Симметричность кристаллов представляется вполне очевидной, однако представление о ней вошло в науку лишь сравнительно недавно. Первым подчеркнул серьезное значение симметрии великий французский кристаллограф Рене Жюст Гаюи (1743-1822); его творчество оказало большое влияние на дальнейшее развитие кристаллографии, главным образом, разработкой проблемы внутреннего строения кристаллов. Понятия оси, плоскости и центра симметрии были позже сформулированы соотечественником Гаюи Огюстом Браве (1811-1863).

Из существования в кристаллах различных элементов симметрии непреложным образом вытекают и законы их взаимодействия друг с другом. Например, известно, что в кристалле имеются ось L₆ и ось L₂. Могут ли они располагаться как угодно? Нет, кроме взаимно перпендикулярного расположения этих осей ничего другого представить себе нельзя. Если бы эти оси были расположены иначе, то после поворота вокруг L₂ появилась бы еще одна L₆, а это противоречит условию задачи. С другой стороны, наличие оси L₆ обязывает к тому, чтобы в таком кристалле было по крайней мере три оси L₂. Все элементы симметрии так или иначе взаимодействуют друг с другом, вследствие чего некоторые их комбинации в кристаллах невозможны, а некоторые обязательны. Так, осей 3-го порядка может быть одна, четыре или ни одной; 4-го порядка - одна, три или ни одной; 6-го порядка - одна или ни одной; все оси симметрии пересекаются в одной точке. Исследованиями установлено, что в кристаллах возможны 32 сочетания, или класса симметрии. Класс симметрии обозначается формулой, в которой перечисляются элементы симметрии и их число. Так, вид симметрии куба и октаэдра 3L₄4L₃6L₂9РС; кристалла гемиморфита (рис. 3,г) - L₂2Р и т. д.

Формулы 32 классов симметрии кристаллов

Триклинная L₁; C

Моноклинная Р; L₂; L₂PC

Ромбическая L₂2P; 3L₂; 3L₂3PC

Тригональная L₃; L₃C; L₃3P; L₃3L₂; L₃3L₂3PC;

Тетрагональная L₄; L₄PC; L₄4P; L₄4L₂; L₄4L₂5PC; Li₄; Li₄2L₂2P

Гексагональная Li₆=L₃P; Li₆3L₂3P=L₃3L₂4P; L₆; L₆PC; L₆6P; L₆6L₂; L₆6L₂7PC

Кубическая 4L₃3L₂; 4L₃3L₂3PC; 4L₃3L₂(3Li₄)6P; 3L₄4L₃6L₂; 3L₄4L₃6L₂9PC

Li – ось инверсии

Инверсия - операция симметрии, преобразующая точку пространства с координатами x, y, z в точку с координатами -x, -y, -z. Особая точка этого преобразования (начало координат) называется центром инверсии или центром симметрии.

Каждый минеральный вид кристаллизуется только в одном классе симметрии. Это налагает на форму кристаллов определенные ограничения. Так, минерал, кристаллизующийся в классе симметрии 3L₄4L₃6L₂9PC, можно встретить в виде кубов, октаэдров и некоторых других многогранников, но нельзя встретить, например, в виде трехгранных призм - это уже другой класс.

Математический вывод возможных классов симметрии кристаллов впервые сделал в 1830 г. немецкий профессор И. Ф. Гессель (1796-1872), однако этот вывод не был замечен современниками. В 1867 г. русский академик Аксель Вильгельмович Гадолин (1828-1892) независимо от Гесселя доказал существование 32 классов симметрии кристаллов. В этих 32 классах размещены все без исключения природные минеральные виды и разновидности, а также все искусственные кристаллы.

Поиск по сайту: