Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Функциональные последовательности и ряды

Методичка

 

 

Санкт-Петербург, 2003 г.

Оглавление

Стр.

§1. Числовые ряды

1˚. Основные понятия …………………………………………………… 3

2˚. Общие свойства числовых рядов …………………………………… 4

3˚. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами ……… 6

4˚. Признаки сходимости произвольных рядов ……………………….. 12

5˚. Абсолютно сходящиеся ряды ………………………………………. 17

6˚. Степенные ряды ……………………………………………………… 22

 

§2. Функциональные последовательности и ряды

1˚. Последовательности функций ……………………………………… 25

2˚. Равномерно сходящиеся последовательности функций ………….. 26

3˚. Функциональные ряды ……………………………………………… 28

4˚. Равномерно сходящиеся функциональные ряды …………………. 29

 

§3. Ряды Тейлора

1˚. Вещественные степенные ряды …………………………………… 32

2˚. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. …………………………. 35

§4. Ряды Фурье

1˚. Абсолютно интегрируемые функции …………………………….. 39

 

 


 

В математике рядом называют бесконечную сумму, т.е. сумму, множество слагаемых которой бесконечно. Эта формулировка не является корректным определением понятия, но все же она создает достаточно верное общее представление о нем. Если каждое слагаемое такой суммы есть число, вещественное или комплексное, ее называют числовым рядом; если же слагаемые представляют собой функции, то ее называют функциональным рядом.

 

Числовые ряды.

1º. Основные понятия.

Пусть {z k} - некоторая последовательность чисел, вообще говоря, комплексных . Рассмотрим последовательность {S n}, где S 1 = z 1 , а при любом натуральном n > 1 S n = z 1 + z 2 + … + z n . Последовательность {S n} может оказаться либо сходящей- ся, либо расходящейся.

Пусть последовательность {S n} сходится, а число S есть ее предел : lim S n = S . Будем говорить в этом случае, что числовой ряд

z 1 + z 2 + … + z k + … ( 1 )

сходится, а число S назовем суммой этого ряда. Члены последовательности {z k} назовем членами ряда (1) ; S n назовем его n – ой частичной суммой .

Замечание. Хотя число S и называют суммой, на самом деле оно не является суммой в привычном понимании этого термина, согласно которому сумма - это результат сложения некоторого конечного количества слагаемых. Суммой является. например, всякий член последовательности {S n}, начиная с S 2 . Но сложить беско- нечное множество членов ряда невозможно, и число S представляет собой результат другого математического действия – предельного перехода, примененного к после- довательности сумм {S n}.

Для обозначения ряда (1) мы обычно будем пользоваться символом ,а также упрощенным символом . В этих символах z k называют общим членом ряда. Если ряд сходится, а S является его суммой,т.е. если lim Sn = S, будем записывать: = S.

В случае, когда последовательность {S n} расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится; суммы такой ряд не имеет. Однако, если S n → + ∞ или S n → - ∞ , принято говорить. что сумма расходящегося ряда (1) равна + ∞ или - ∞ соответственно.

Пример 1. Пусть q – некоторое комплексное число; положим при вском натуральном k z k = q и рассмотрим ряд = 1 + q + q +…+ q +... ( его члены обра- зуют геометрическую прогрессию). И меем: S n = 1 + q + +q + … + q = . Если |q| < 1, то → 0 и, значит, S n ; если же |q | > 1, то q → ∞ и , следова- тельно, S n . Итак, при |q| < 1 рассматриваемый ряд сходится, его сумма равна

; при |q | > 1 ряд расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд . Здесь z k = , Sn = = = ln2 + ( ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + ( ln n – ln(n-1)) + + ( ln(n+1) – ln n ) = ln (n+1). Очевидно, S n→ +∞ . Значит, ряд расходится, его сумма равна + ∞.

Пример 3. Пусть z k = , S n = 1 – 1 + … …+ (-1) . При четных n эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице ; значит, последовательность {S n} частичных сумм ряда не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.

 

2˚. Общие свойства числовых рядов

 

1.. ( Необходимое условие сходимости ) Если ряд .сходится, то его общий член стремится к нулю : z k → 0 .

► Пусть S n = . Обозначим сумму ряда через S : S n → S. При всяком n ≥2 , очевидно, z n = S n - S n -1 . Перейдем в этом равенстве к пределу ; так как последовательности имеют один и тот же предел S , получим : z n → 0. ◄

Замечание. Обратное утверждение (если z k → 0 , то сходится ) неверно. Действительно, для гармонического ряда имеем z k → 0 , однако ряд расходится. Можно указать еще и на ряд , рассмотренный выше (см. пример 2 ): его общий член,очевидно, стремится к нулю, но ряд расходится.

2. ( Достаточное условие расходимости ) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

► Действительно, если общий член ряда не стремится к нулю, ряд не может оказаться сходящимся, так как общий член сходящегося ряда обязательно стремится к нулю. ◄

Пример 4. Выше ( см. пример 1) мы показали, что ряд сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| > 1. Рассмотрим случай |q| = 1. Имеем : при всяком натуральном k, поэтому последовательность заведомо не стремится к нулю; значит. при любом комплексном q, |q| = 1, рассматриваемый ряд расходится.

3. ( Умножение числа на ряд) Пусть заданы ряд и некоторое отличное от нуля число λ , вообще говоря , комплексное. Произведением числа λ на ряд называют ряд , где wk = λzk . Справаедливы утверждения: 1) ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся ; 2) если = S, то = λ S.

► Пусть n - некоторое натуральное число. Обозначим : . Очевидно, .Отсюда и из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями ( [3], п. 3.5) вытекает : 1) последовательности частичных сумм либо обе сходятся, либо обе расходятся ; 2 ) если

4. ( Сложение рядав ) Ряд называют суммой рядов и . Справедливы утверждения: 1) пусть ряды сходятся, причем ; тогда сходится и , причем = ; 2) если один из рядов сходится, а другой расходится, то ряд расходится.

► Обозначим : Очевидно, . Из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями следует : 1) если последовательности частичных сумм сходятся, то сходится и их сумма - последовательность , причем Sn → →S’+S”; 2) если одна из последовательностей сходится , а другая расходится, то не может быть сходящейся последовательностью, значит, ряд расходится. ◄

Замечание. Если оба ряда расходятся, то их сумма, т.е. ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся рядом. Например, положим Тогда ряды расходятся ( см. пример 4) , а ряд сходится, так как каждый его член равен нулю.

5. Пусть задан ряд , а m - некоторое натуральное число . Ряд , где wl = = zm+l , т.е. ряд zm+1+zm+2+ …+ zm+l + … = , называют остатком ряда . Справедливо утверждение: ряд и его остаток либо оба сходятся, либо оба расходятся.

► Для всякого натурального n введем обозначения : .Очевид- но, при любом натуральном p т.е. где А = = . Ввиду такой связи между последовательностями частичных сумм очевидно, что если сходится одна из них, то сходится и другая; если одна из них расходится, то другая не может быть сходящейся. ◄

6. Пусть и - последовательности вещественных чисел . Обозначим : zk = xk + i yk , Sn= . Если ряды , сходятся, то их суммы обозначаем через S , и соответственно. Справедливы

утверждения: 1) ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда ; 2) если сходится, то S = + i .

► Заметим : Sn = S + i S . Утверждения 1) и 2) вытекают непосредственно из свойств последовательностей комплексных чисел. ◄

 

3º. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Ряды находят разнообразные применения в прикладной математике. Имея дело с числовым рядом,прежде всего следует выяснить, сходится ли этот ряд. Выяснить это часто удается с помощью свойств, описанных в предыдущем пункте ( например, если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится). Если указанных средств оказалось недостаточно, обращаются к признакам сходимости и расходимости рядов, наиболее употребительные из которых составляют содержание этого и следующего пунктов.

В этом пункте мы рассматриваем числовые ряды члены которых неотрица- тельны: a k ≥ 0. Обозначим через Sn частичную сумму такого ряда.: S n = .Так как a k ≥ 0, то S n ≤ S n +1, т.е. {S n } - монотонная неубывающая последовательность. Если эта последовательность ограничена сверху, она сходится, в противном случае она стремится к + ∞ ([3], п.3.6 ). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.( Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами) Для того, чтобы ряд a k ≥ 0, сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо- вательность его частичных сумм {S n } была ограничена сверху .

Пусть f - некоторая функция, определенная на промежутке [ 1, +∞). Обозначим : a k= f(k) , где k , и рассмотрим числовой ряд . Будем говорить, что f явля- ется производящей функцией для числового ряда . Например, f(x) = явля- ется производящей функцией для гармонического ряда , так как при всех натуральных k f (k) = . Если производящая функция неотрицательна на [1, +∞), то - ряд с неотрицатеьными членами.

Теорема 2.(Интегральный признак Коши) Пусть производящая функция f чис- лового ряда непрерывна и неотрицательна на промежутке [1;+∞) и, кроме то- го, является на этом промежутке монотонной невозрастающей функцией. Для того, чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился несоб- ственный интеграл .

► Напомним: по определению = , где F(x) = ; интеграл сходится, если предел конечен, и расходится в противном случае, т.е. если этот предел равен ∞ или не существует ( [4], п. 2.1). По условию теоремы f(x) неотрицательна на [1, +∞) , поэтому F(x) есть монотонная неубывающая на [ 1,∞) функция; следовательно, конечен тогда и только тогда, когда F(x) ограничена на [ 1, +∞) сверху. Отметим еще, что если сходится, то F(x) ≤ при всех х 1.

Пусть k – натуральное число. Так как f (x) - невозрастающая функция, то т.е. при Проинтегрировав последние неравенства, получим: , т.е. . Отсюда: , т.е.

N Snan ≥ Sna1 (1)

Необходимость. Пусть сходится, а S – его сумма : lim Sn = S, где . Так как , то {Sn} – неубывающая последовательность, и при всяком на- туральном n Sn ≤ Sn+1 ≤ S. Из (1) имеем: N ≤ Snan , и так как Sn ≤ S , то при всех натуральных n справедливо F(n) ≤ S. Отсюда вытекает: функция F огра- ничена на [1;+∞) cверху числом S; следовательно (см. выше), интеграл схо- дится.

Достаточность. Пусть интеграл сходится. Так как F(x) ≤ , то из (1) имеем: при всех натуральных n : ≥ F(n) = ≥ Sna1 . Отсюда : NSn + а1 , т.е. последовательность {S n } ограничена сверху; значит ( см. теорему 1) , ряд сходится. ◄

Пример 6. Пусть λ – некоторое вещественное число.Рассмотрим ряд . Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом ( в частном случае λ =1 получим гармонический ряд, см. пример 4). Если λ ≤ 0 , то не стремится к нулю; значит (см. достаточное условие расходимости, 2˚), при λ ≤ 0 обобщенный гармонический ряд расходится. Пусть λ > 0. Функция f (x) = , очевидно, является производящей функцией для ряда .Очевидно также, что она положительна и убывает на [1;+∞) . Таким образом, выполнены все требования интегрального признака Коши.

При 0 < λ < 1 имеем: . Интеграл от производящей функции расходится, значит, расходится и ряд при 0 < λ < 1. При λ = 1 имеем: ; следовательно, ряд расходится ( этот результат был полу- чен в примере 4, 2˚, другим способом). При λ > 1 имеем: . Ин- теграл от производящей функции сходится, значит, сходится и ряд при λ > 1.

Резюмируем результаты проведенного выше исследования обобщенного гармони- ческого ряда: ряд расходится при λ ≤ 1 и сходится при λ > 1.

Следующие теоремы дают достаточные условия сходимости или расходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 3.( Первый признак сравнения ) Пусть {ak} и{bk} - две последователь- ности неотрицательных чисел, причем . Тогда :

1) если сходится, то сходится и ряд ;

2) если ряд расходится, то расходится и ряд .

► Обозначим : 1) Очевидно, Пусть сходится, а - его сумма : . Так как последовательность частичных сумм неубывающая, то . Значит, при всех натуральных n , т.е. последовательность { } ограничена сверху числом , и поэтому она сходится.

3) Пусть расходится; тогда Так как , то и → +∞, т.е. ряд расходится. ◄

Пример 7. Рассмотрим ряд . При всяком натуральном k k! ≥ Следо- вательно, при всех натуральных k Ряд сходится (пример 1, q = = ½), значит,сходится и рассматриваемый ряд.

 

Теорема 3.( Второй признак сравнения ) Пусть {ak} – последовательность не- отрицательных чисел, а {bk} – последовательность положительных чисел. Пусть, да- лее, где q - либо неотрицательное число, либо символ +∞. Тогда :

1) если 0 < q < + ∞, то ряды и ведут себя одинаково – либо оба схо- дятся, либо оба расходятся ;

2) если q = 0, а ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если q = + ∞, а ряд расходится, то расходится и ряд .

► 1) Достаточно показать, что из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < q . Найдется натуральное kε , такое, что при всех k > kε справедливо неравенство , т.е.

(2)

Пусть сходится . Тогда сходится и его остаток . Из неравенств

( см.(2) ) и первого признака сравнения вытекает сходимость ряда ( заметим, что q – ε > 0 ). Этот ряд представляет собой остаток ряда , который, следовательно, является сходящимся. Значит (см. свойство 4, п. 2º ), сходится.

Пусть расходится. Чтобы вывести отсюда расходимость ряда , следует

воспользоваться неравенствами , справедливыми при k > kε ( см. (2) ). Рассуждения аналогичны изложенным выше.

2) Пусть сходится. Зададим некоторое ε > 0. Так как найдется натуральное kε , такое, что при всех k > kε справедливо неравенство , т.е. Так как сходится, то сходится и его остаток . По свойству 4, п. 2º, сходится ряд . Отсюда и из первого признака сравнения вытекает сходимость ряда , который представляет собой остаток ряда . Значит, сходится.

3) Пусть расходится. Так как найдется натуральное k1 такое, что

при всех k > k1 справедливо Остаток расходящегося ря- да расходится. По первому признаку сравнения из вытекает расходи- мость ряда , который представляет собой остаток ряда . Значит, расходится. ◄

Замечание. Доказанная теорема производит сравнение двух рядов по “скорости” убывания их общих членов. Если общие члены рядов и являются беско- нечно малыми одинакового порядка ( , q ≠ 0, +∞ ), то ряды ведут себя одинаково; в частности, ряды ведут себя одинаково, когда их общие члены эквива- лентны ( случай q = 1 ). Если общий член ряда является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с общим членом сходящегося ряда (ak = =o( bk) ), то также сходится; если общий член ak убывает “медленнее“ общего члена расходящегося ряда , то ряд также расходится.

Чтобы эффективно применять признаки сравнения, нужно располагать набором рядов, относительно которых уже известно, сходятся они или расходятся , и чем больше различных рядов в этом наборе, тем больше шансов найти среди них такой , сравнение с которым позволит выяснить, сходится ли интересующий нас ряд. Мы уже можем включить в этот набор различные ряды вида , где a и q положи- тельные числа – такой ряд сходится, если 0 < q < 1, и расходится, если q ≥ 1 (cм.при- меры 1 и 5). В этот набор можем включить также обобщенный гармонический ряд при всевозможных вещественных λ (пример 6). Вообще, каждый ряд, сходи- мость которого исследована, пополняет указанный набор рядов.

На второй признак сравнения опирается метод выделения главной части в иследо- вании рядов на сходимость. Пусть f (x) есть производящая функция ряда : ak = = f (k) . Пусть, далее, С , где С > 0 и λ > 0 , - главная часть f (x) при х → +∞ , т.е. f (x) ~ С , х → +∞. Из второго признака сравнения следует, что ряд ведет себя так же, как ряд : он расходится, если λ ≤ 1, и сходится, если λ > 1.

Пример 8. Исследуем на сходимость ряд . Запишем его произ- водящую функцию : . Выделим ее главную часть при х→ +∞ :

~

= ~ , х→ +∞.

Итак, С = 1 , λ = 1, поэтому рассматриваемый ряд ведет себя так же, как гармониче- ский ряд , т.е. расходится.

Теорема 4 .(Признак Даламбера) Пусть {ak} – последовательность положитель- ных чисел, и пусть , где q – либо неотрицательное число, либо + ∞. Тогда : 1) если 0≤ q < 1, то ряд сходится;

2) если q > 1 или q =+ ∞ , то ряд расходится.

► 1) Пусть р – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам q < p < 1. По теореме о стабилизации знака неравенства ( [3], п. 3.3 ) найдется натуральное kр такое, что при всех k > kр справедливо , т.е. аk+1 < p ak. Отсюда при k = kp+1 получим при k = kp+2 получим , при k= kp+3 будет и т.д. Вообще, при всяком натуральном m справедливо неравен- ство . Рассмотрим два ряда : и . Для их общих членов справедливо неравенство , причем ряд с бóльшим общим членом сходит- ся, ибо его члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель р которой меньше единицы. По первому признаку сравнения сходится ряд , который представляет собой остаток ряда ; значит, этот последний ряд сходится.

2) И в случае q > 1, и в случае q = + ∞ найдется натуральное k0 такое, что при всех k > k0 справедливо , т.е. начиная с номера k0 члены последовательности { ak } возрастают, поэтому эта последовотельность не стремится к нулю. В силу достаточного условия расходимости ряд расходится. ◄

Замечание. В случае q = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: если , ряд может оказаться сходящимся , но может окзаться и расходящимся.

Пример 9. Применим признак Даламбера к ряду : ak = ,

.

Значит, ряд сходится.

Теорема 5.( Радикальный признак Коши ) Пусть {ak} – последовательность неот- рицательных чисел, и пусть , где q – либо неотрицательное число, либо +∞. Тогда : 1) если 0 ≤ q < 1, то ряд сходится , 2) если q > 1 или q = + ∞, то ряд расходится.

► 1) Пусть р – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам q < р < 1. Най- дется натуральное kр такое, что при всех k > kр справедливо , т.е. ak< . По первому признаку сравнения отсюда следует, что ряд (остаток ряда ) схо- дится, так как его члены меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поскольку сходится остаток, то сходится и сам ряд.

2) И в случае q > 1, и в случае q =+ ∞ найдется натуральное k0 такое, что при всех k > k0 справедливо ; значит, при указанных k Значит, последо- вательность {ak } не может стремиться к нулю; поэтому ряд расходится. ◄

Замечание. При q = 1 радикальный признак Коши не не дает ответа на вопрос о сходимости ряда : в этом случае ряд может оказаться сходящимся, но может и расходиться.

Пример 10. Применим радикальный признак Коши к ряду : =

Следовательно, ряд расходится.

 

4°. Признаки сходимости произвольных рядов

Здесь мы рассматриваем ряды, члены которых могут быть любыми вещественны- ми или мнимыми числами

Теорема 6. ( Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного ε можно было указать натуральное n ε такое,что при всех натуральных n > n ε и любых натуральных р справедливо неравенство .

► Сходимость числового ряда означает сходимость последовательности {S n} его частичных сумм. Напомним формулировку критерия Коши сходимости последовательности : для того, чтобы последовательность {S n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы

.

Не ограничивая общности можно считать, что m > n , т.е. что m = n + p , где р - некоторое натуральное число. Если n > n ε, то подавно n + p > n ε , поэтому напи- санную выше строчку можно заменить следующей, ей равносильной :

.

Заметим : ; Таким образом, из критерия Коши для последовательности {S n} вытекает: ряд сходится тогда и только тогда, когда

,

что и требовалось доказать. ◄

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 11.Ряд называют гармоническим рядом. Покажем, что это расходящийся ряд. Пусть n - некоторое натуральное число; а p = n +2 . Рассмотрим В этой сумме n +2 слагаемых, причем - наименьшее из них ; поэтому Здесь n - любое натуральное число. Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < ½ . Тогда при всяком натуральном n и p = n +2 будет выполнено , а это означает, что для такого ε нельзя указать n ε , которое удовлетвори- ло бы требованию критерия сходимости Коши . Значит, ряд расходится. ◄.

Критерий Коши редко удаётся применить для исследования конкретного числового ряда, так как трудно проверить выполнение его условия. Чаще обращаются к достаточным признакам сходимости и расходимости ряда. Например: если общий член ряда не стремится к нулю, ряд расходится. Ниже приведены теоремы, пред- ставляющие собой достаточные признаки сходимости.

Начнем с частного, но весьма важного для приложений случая – с рядов, которые принято называть знакочередующимися.

Пусть {ak} – последовательность положительных чисел. Положим zk = (-1) , и рассмотрим ряд , т.е. ряд . Ряды такой структуры и называют зна- кочередующимися.

Теорема 7.( Признак Лейбница ) Пусть последовательность {ak} строго убывает и стремится к нулю. Тогда ряд сходится; а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a1.

► Пусть n – некоторое четное число: n = 2l , l N.В сумме S2l сгруппируем слагаемые : S2l = = (а1 –a2) + ( a3 – a4) + … +(a2l-3 –a2l-2 ) + (a2l-1 –a2l )

Так как {ak} строго убывает,то разность в каждой из скобок положительна; значит, S2l > 0 и S2(l+1) > S2l , т.е. последовательность {S2l } - это строго возрастающая последовательность положительных чисел. Сгруппируем теперь слагаемые в сумме S2l иначе : S2l = a1 ( a2 –a3 ) – ( a4 –a5 ) - … - ( a2l-2 –a 2l-1 ) – a2l .

Отсюда ясно, что S2l < a1. Таким образом, строго возрастающая последовательность { S2l } ограничена сверху числом a1 ; значит, она сходится. Обозначим ее предел через S. Из свойств { S2l } следует: 0 < S ≤ a1

Покажем, что S есть сумма ряда , т.е., что S = lim Sn , где Sn = = . Пусть n – некоторое нечетное число : n = 2l –1 , l N. Заметим : S2l-1 = = S2l - a2l → S, так как S2l → S, а a2l → 0. Таким образом, обе подпоследовательности { S2l } частичных сумм с четными номерами и { S2l-1 } частичных сумм с нечетными номерами сходятся к S; значит, вся последовательность {Sn} имеет тот же предел

Итак, рассматриваемый ряд сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a1. ◄

Пример 12. Рассмотрим ряд , где λ – некоторое вещественное число. Это знакочередующийся ряд; здесь ak = . Если λ ≤ 0 , последовательность {ak} , очевидно, не стремится к нулю, и поэтому при таких λ рассматриваемый ряд расхо- дится. При λ > 0 последовательность {ak} строго убывает и стремится к нулю; зна- чит, по признаку Лейбница ряд сходится.

В следующей теореме члены ряда - любые числа, быть может, и мнимые. Из

их модулей составим новый ряд ; члены этого ряда неотрицательны.

Теорема 8.Если сходится ряд , то сходится и ряд .

► Зададим некоторое ε > 0. Так как сходится, в силу критерия Коши (свой- ство 1, 2˚ ) существует натуральное nε такое, что при всех n > nε и любых натураль -ных р справедливо . Ho при этих n и p .Следовательно, для ряда выполнены требования критерия Коши:

N N N ( n > nε ) ,

поэтому ряд сходится . ◄

Пример 13. Рассмотрим ряд , где φ и λ – вещественные числа. Так как │exp(ikφ)│= 1, то . Отсюда ясно, что при λ ≤ 0 общий член рассмат- риваемого ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится, а при λ > 1 ряд сходится ( см. пример 6), значит, сходится и рассматриваемый ряд. Его поведение при будет выяснено ниже с помощью признака Дирихле.

Для.доказательства признака Дирихле нужна лемма Абеля

Лемма Абеля.Пусть и - наборы комплексных чисел Обозначим: Vq= ; V = max { |V1| , |V2| , … , |Vp| } . Тогда :

1) 2) если u1 ≥ u2 ≥ … ≥ up > 0 , то .

► Заметим : V1 = v1, а при j = 2,3, …, p vj = Vj – Vj-1. Значит,

Раскрыв здесь скобки и приведя затем подобные, получим равенство 1).

Теорема 9.( Признак Дирихле ) Пусть - невозрастающая последователь- ность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Обо- значим: Вр = . Если 1) и 2) существует М > 0 такое, что М при всех натуральных р, то ряд сходится.

► Покажем, что ряд удовлетворяет требованиям критерия Коши N N N( n > nε )

Зададим ε > 0. По условию 1) , значит, найдется натуральное n ε такое, что из k > n ε следует . Пусть n и р – натуральные числа, причем n > n ε. Имеем: , где u j = an+j , v j = b n+j . Заметим: u1 ≥ u2 ≥ … ≥ up > 0 . Обозначим: Vq = , V = max { |V1| , |V2| , … , |Vp| }. Так как Vq = = Bn+q – Bq, то при любом натуральном q имеем : | Vq | ≤ | Bn+q| + |Bq| ≤ 2M . Значит, V ≤ 2M . В силу утверждения 2) леммы Абеля , т.е. | | ≤ 2М an+1. Отсю- да и из неравенствa следует : | | < ε . Таким образом, для произволь- но заданного ε>0 существует натуральное n ε , удовлетворяющее требованию критерия Коши ; поэтому ряд сходится. ◄

Пример 14. Вернемся к рассмотрению ряда . Пусть 0 < λ ≤ 1. Ввиду 2π – периодичности exp(ikφ), достаточно рассматривать . При φ = 0 рас- сматриваемый ряд превращается в , который при 0 < λ ≤ 1 расходится ( пример 6). Пусть φ . При всяком k Nположим где q = . Заметим: при 0 < λ ≤ 1 последовательность убывает и стремится к нулю; далее, при φ q отлично от единицы, поэтому Bp = , и, значит, |Bp| , где М от р не зависит. Таким образом, последовательности и удовлетворяют требованиям приз- нака Дирихле, значит, ряд , т.е. при 0 < λ ≤ 1 и φ сходится.

Теорема 10.( Признак Абеля) Пусть - невозрастающая последовательность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Если схо- дится ряд , то сходится и ряд .

► Обозначим: . Заметим: {ck} – невозрастающая бесконечно малая последовательность положительных чисел; {Bp} – последова- тельность частичных сумм сходящегося ряда, значит, это сходящаяся и потому огра- ниченная последовательность. По признаку Дирихле ряд , т.е. схо- дится. Но , а это означает, что ряд является суммой двух сходящихся рядов и . Следовательно ( свойство 5, 2˚ ), ряд сходится. ◄

5 ˚. Абсолютно сходящиеся ряды

Если сходится ряд


©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.