Функциональные последовательности и ряды

Ряды находят разнообразные применения в прикладной математике. Имея дело с числовым рядом,прежде всего следует выяснить, сходится ли этот ряд. Выяснить это часто удается с помощью свойств, описанных в предыдущем пункте ( например, если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится). Если указанных средств оказалось недостаточно, обращаются к признакам сходимости и расходимости рядов, наиболее употребительные из которых составляют содержание этого и следующего пунктов.

В этом пункте мы рассматриваем числовые ряды члены которых неотрица- тельны: a _k ≥ 0. Обозначим через S_n частичную сумму такого ряда.: S _n = .Так как a _k ≥ 0, то S _n ≤ S _{n +1}, т.е. {S _n } - монотонная неубывающая последовательность. Если эта последовательность ограничена сверху, она сходится, в противном случае она стремится к + ∞ ([3], п.3.6 ). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.( Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами) Для того, чтобы ряд a _k ≥ 0, сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо- вательность его частичных сумм {S _n } была ограничена сверху .

Пусть f - некоторая функция, определенная на промежутке [ 1, +∞). Обозначим : a _k= f(k) , где k , и рассмотрим числовой ряд . Будем говорить, что f явля- ется производящей функцией для числового ряда . Например, f(x) = явля- ется производящей функцией для гармонического ряда , так как при всех натуральных k f (k) = . Если производящая функция неотрицательна на [1, +∞), то - ряд с неотрицатеьными членами.

Теорема 2.(Интегральный признак Коши) Пусть производящая функция f чис- лового ряда непрерывна и неотрицательна на промежутке [1;+∞) и, кроме то- го, является на этом промежутке монотонной невозрастающей функцией. Для того, чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился несоб- ственный интеграл .

► Напомним: по определению = , где F(x) = ; интеграл сходится, если предел конечен, и расходится в противном случае, т.е. если этот предел равен ∞ или не существует ( [4], п. 2.1). По условию теоремы f(x) неотрицательна на [1, +∞) , поэтому F(x) есть монотонная неубывающая на [ 1,∞) функция; следовательно, конечен тогда и только тогда, когда F(x) ограничена на [ 1, +∞) сверху. Отметим еще, что если сходится, то F(x) ≤ при всех х 1.

Пусть k – натуральное число. Так как f (x) - невозрастающая функция, то т.е. при Проинтегрировав последние неравенства, получим: , т.е. . Отсюда: , т.е.

N S_n –a_n ≥ ≥ S_n –a₁ (1)

Необходимость. Пусть сходится, а S – его сумма : lim S_n = S, где . Так как , то {S_n} – неубывающая последовательность, и при всяком на- туральном n S_n ≤ S_n+1 ≤ S. Из (1) имеем: N ≤ S_n –a_n , и так как S_n ≤ S , то при всех натуральных n справедливо F(n) ≤ S. Отсюда вытекает: функция F огра- ничена на [1;+∞) cверху числом S; следовательно (см. выше), интеграл схо- дится.

Достаточность. Пусть интеграл сходится. Так как F(x) ≤ , то из (1) имеем: при всех натуральных n : ≥ F(n) = ≥ S_n –a₁ . Отсюда : NS_n ≤ + а₁ , т.е. последовательность {S _n } ограничена сверху; значит ( см. теорему 1) , ряд сходится. ◄

Пример 6. Пусть λ – некоторое вещественное число.Рассмотрим ряд . Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом ( в частном случае λ =1 получим гармонический ряд, см. пример 4). Если λ ≤ 0 , то не стремится к нулю; значит (см. достаточное условие расходимости, 2˚), при λ ≤ 0 обобщенный гармонический ряд расходится. Пусть λ > 0. Функция f (x) = , очевидно, является производящей функцией для ряда .Очевидно также, что она положительна и убывает на [1;+∞) . Таким образом, выполнены все требования интегрального признака Коши.

При 0 < λ < 1 имеем: . Интеграл от производящей функции расходится, значит, расходится и ряд при 0 < λ < 1. При λ = 1 имеем: ; следовательно, ряд расходится ( этот результат был полу- чен в примере 4, 2˚, другим способом). При λ > 1 имеем: . Ин- теграл от производящей функции сходится, значит, сходится и ряд при λ > 1.

Резюмируем результаты проведенного выше исследования обобщенного гармони- ческого ряда: ряд расходится при λ ≤ 1 и сходится при λ > 1.

Следующие теоремы дают достаточные условия сходимости или расходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 3.( Первый признак сравнения ) Пусть {a_k} и{b_k} - две последователь- ности неотрицательных чисел, причем . Тогда :

1) если сходится, то сходится и ряд ;

2) если ряд расходится, то расходится и ряд .

► Обозначим : 1) Очевидно, Пусть сходится, а - его сумма : . Так как последовательность частичных сумм неубывающая, то ≤ . Значит, при всех натуральных n ≤ , т.е. последовательность { } ограничена сверху числом , и поэтому она сходится.

3) Пусть расходится; тогда Так как , то и → +∞, т.е. ряд расходится. ◄

Пример 7. Рассмотрим ряд . При всяком натуральном k k! ≥ Следо- вательно, при всех натуральных k Ряд сходится (пример 1, q = = ½), значит,сходится и рассматриваемый ряд.

Теорема 3.( Второй признак сравнения ) Пусть {a_k} – последовательность не- отрицательных чисел, а {b_k} – последовательность положительных чисел. Пусть, да- лее, где q - либо неотрицательное число, либо символ +∞. Тогда :

1) если 0 < q < + ∞, то ряды и ведут себя одинаково – либо оба схо- дятся, либо оба расходятся ;

2) если q = 0, а ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если q = + ∞, а ряд расходится, то расходится и ряд .

► 1) Достаточно показать, что из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < q . Найдется натуральное k_ε , такое, что при всех k > k_ε справедливо неравенство , т.е.

(2)

Пусть сходится . Тогда сходится и его остаток . Из неравенств

( см.(2) ) и первого признака сравнения вытекает сходимость ряда ( заметим, что q – ε > 0 ). Этот ряд представляет собой остаток ряда , который, следовательно, является сходящимся. Значит (см. свойство 4, п. 2º ), сходится.

Пусть расходится. Чтобы вывести отсюда расходимость ряда , следует

воспользоваться неравенствами , справедливыми при k > k_ε ( см. (2) ). Рассуждения аналогичны изложенным выше.

2) Пусть сходится. Зададим некоторое ε > 0. Так как найдется натуральное k_ε , такое, что при всех k > k_ε справедливо неравенство , т.е. Так как сходится, то сходится и его остаток . По свойству 4, п. 2º, сходится ряд . Отсюда и из первого признака сравнения вытекает сходимость ряда , который представляет собой остаток ряда . Значит, сходится.

3) Пусть расходится. Так как найдется натуральное k₁ такое, что

при всех k > k₁ справедливо Остаток расходящегося ря- да расходится. По первому признаку сравнения из вытекает расходи- мость ряда , который представляет собой остаток ряда . Значит, расходится. ◄

Замечание. Доказанная теорема производит сравнение двух рядов по “скорости” убывания их общих членов. Если общие члены рядов и являются беско- нечно малыми одинакового порядка ( , q ≠ 0, +∞ ), то ряды ведут себя одинаково; в частности, ряды ведут себя одинаково, когда их общие члены эквива- лентны ( случай q = 1 ). Если общий член ряда является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с общим членом сходящегося ряда (a_k = =o( b_k) ), то также сходится; если общий член a_k убывает “медленнее“ общего члена расходящегося ряда , то ряд также расходится.

Чтобы эффективно применять признаки сравнения, нужно располагать набором рядов, относительно которых уже известно, сходятся они или расходятся , и чем больше различных рядов в этом наборе, тем больше шансов найти среди них такой , сравнение с которым позволит выяснить, сходится ли интересующий нас ряд. Мы уже можем включить в этот набор различные ряды вида , где a и q положи- тельные числа – такой ряд сходится, если 0 < q < 1, и расходится, если q ≥ 1 (cм.при- меры 1 и 5). В этот набор можем включить также обобщенный гармонический ряд при всевозможных вещественных λ (пример 6). Вообще, каждый ряд, сходи- мость которого исследована, пополняет указанный набор рядов.

На второй признак сравнения опирается метод выделения главной части в иследо- вании рядов на сходимость. Пусть f (x) есть производящая функция ряда : a_k = = f (k) . Пусть, далее, С , где С > 0 и λ > 0 , - главная часть f (x) при х → +∞ , т.е. f (x) ~ С , х → +∞. Из второго признака сравнения следует, что ряд ведет себя так же, как ряд : он расходится, если λ ≤ 1, и сходится, если λ > 1.

Пример 8. Исследуем на сходимость ряд . Запишем его произ- водящую функцию : . Выделим ее главную часть при х→ +∞ :

~

= ~ , х→ +∞.

Итак, С = 1 , λ = 1, поэтому рассматриваемый ряд ведет себя так же, как гармониче- ский ряд , т.е. расходится.

Теорема 4 .(Признак Даламбера) Пусть {a_k} – последовательность положитель- ных чисел, и пусть , где q – либо неотрицательное число, либо + ∞. Тогда : 1) если 0≤ q < 1, то ряд сходится;

2) если q > 1 или q =+ ∞ , то ряд расходится.

► 1) Пусть р – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам q < p < 1. По теореме о стабилизации знака неравенства ( [3], п. 3.3 ) найдется натуральное k_р такое, что при всех k > k_р справедливо , т.е. а_k+1 < p a_k. Отсюда при k = k_p+1 получим при k = k_p+2 получим , при k= k_p+3 будет и т.д. Вообще, при всяком натуральном m справедливо неравен- ство . Рассмотрим два ряда : и . Для их общих членов справедливо неравенство , причем ряд с бóльшим общим членом сходит- ся, ибо его члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель р которой меньше единицы. По первому признаку сравнения сходится ряд , который представляет собой остаток ряда ; значит, этот последний ряд сходится.

2) И в случае q > 1, и в случае q = + ∞ найдется натуральное k₀ такое, что при всех k > k₀ справедливо , т.е. начиная с номера k₀ члены последовательности { a_k } возрастают, поэтому эта последовотельность не стремится к нулю. В силу достаточного условия расходимости ряд расходится. ◄

Замечание. В случае q = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: если , ряд может оказаться сходящимся , но может окзаться и расходящимся.

Пример 9. Применим признак Даламбера к ряду : a_k = ,

.

Значит, ряд сходится.

Теорема 5.( Радикальный признак Коши ) Пусть {a_k} – последовательность неот- рицательных чисел, и пусть , где q – либо неотрицательное число, либо +∞. Тогда : 1) если 0 ≤ q < 1, то ряд сходится , 2) если q > 1 или q = + ∞, то ряд расходится.

► 1) Пусть р – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам q < р < 1. Най- дется натуральное k_р такое, что при всех k > k_р справедливо , т.е. a_k< . По первому признаку сравнения отсюда следует, что ряд (остаток ряда ) схо- дится, так как его члены меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поскольку сходится остаток, то сходится и сам ряд.

2) И в случае q > 1, и в случае q =+ ∞ найдется натуральное k₀ такое, что при всех k > k₀ справедливо ; значит, при указанных k Значит, последо- вательность {a_k } не может стремиться к нулю; поэтому ряд расходится. ◄

Замечание. При q = 1 радикальный признак Коши не не дает ответа на вопрос о сходимости ряда : в этом случае ряд может оказаться сходящимся, но может и расходиться.

Пример 10. Применим радикальный признак Коши к ряду : =

Следовательно, ряд расходится.

4°. Признаки сходимости произвольных рядов

Теорема 6. ( Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного ε можно было указать натуральное n _ε такое,что при всех натуральных n > n _ε и любых натуральных р справедливо неравенство .

► Сходимость числового ряда означает сходимость последовательности {S _n} его частичных сумм. Напомним формулировку критерия Коши сходимости последовательности : для того, чтобы последовательность {S _n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы

.

Не ограничивая общности можно считать, что m > n , т.е. что m = n + p , где р - некоторое натуральное число. Если n > n _ε, то подавно n + p > n _ε , поэтому напи- санную выше строчку можно заменить следующей, ей равносильной :

.

Заметим : ; Таким образом, из критерия Коши для последовательности {S _n} вытекает: ряд сходится тогда и только тогда, когда

,

что и требовалось доказать. ◄

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 11.Ряд называют гармоническим рядом. Покажем, что это расходящийся ряд. Пусть n - некоторое натуральное число; а p = n +2 . Рассмотрим В этой сумме n +2 слагаемых, причем - наименьшее из них ; поэтому Здесь n - любое натуральное число. Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < ½ . Тогда при всяком натуральном n и p = n +2 будет выполнено , а это означает, что для такого ε нельзя указать n _ε , которое удовлетвори- ло бы требованию критерия сходимости Коши . Значит, ряд расходится. ◄.

Критерий Коши редко удаётся применить для исследования конкретного числового ряда, так как трудно проверить выполнение его условия. Чаще обращаются к достаточным признакам сходимости и расходимости ряда. Например: если общий член ряда не стремится к нулю, ряд расходится. Ниже приведены теоремы, пред- ставляющие собой достаточные признаки сходимости.

Начнем с частного, но весьма важного для приложений случая – с рядов, которые принято называть знакочередующимися.

Пусть {a_k} – последовательность положительных чисел. Положим z_k = (-1) , и рассмотрим ряд , т.е. ряд . Ряды такой структуры и называют зна- кочередующимися.

Теорема 7.( Признак Лейбница ) Пусть последовательность {a_k} строго убывает и стремится к нулю. Тогда ряд сходится; а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a₁.

► Пусть n – некоторое четное число: n = 2l , l N.В сумме S_2l сгруппируем слагаемые : S_2l = = (а₁ –a₂) + ( a₃ – a₄) + … +(a_2l-3 –a_2l-2 ) + (a_2l-1 –a_2l )

Так как {a_k} строго убывает,то разность в каждой из скобок положительна; значит, S_2l > 0 и S_2(l+1) > S_2l , т.е. последовательность {S_2l } - это строго возрастающая последовательность положительных чисел. Сгруппируем теперь слагаемые в сумме S_2l иначе : S_2l = a₁ – ( a₂ –a₃ ) – ( a₄ –a₅ ) - … - ( a_2l-2 –a _2l-1 ) – a_2l .

Отсюда ясно, что S_2l < a₁. Таким образом, строго возрастающая последовательность { S_2l } ограничена сверху числом a₁ ; значит, она сходится. Обозначим ее предел через S. Из свойств { S_2l } следует: 0 < S ≤ a₁

Покажем, что S есть сумма ряда , т.е., что S = lim S_n , где S_n = = . Пусть n – некоторое нечетное число : n = 2l –1 , l N. Заметим : S_2l-1 = = S_2l - a_2l → S, так как S_2l → S, а a_2l → 0. Таким образом, обе подпоследовательности { S_2l } частичных сумм с четными номерами и { S_2l-1 } частичных сумм с нечетными номерами сходятся к S; значит, вся последовательность {S_n} имеет тот же предел

Итак, рассматриваемый ряд сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a₁. ◄

Пример 12. Рассмотрим ряд , где λ – некоторое вещественное число. Это знакочередующийся ряд; здесь a_k = . Если λ ≤ 0 , последовательность {a_k} , очевидно, не стремится к нулю, и поэтому при таких λ рассматриваемый ряд расхо- дится. При λ > 0 последовательность {a_k} строго убывает и стремится к нулю; зна- чит, по признаку Лейбница ряд сходится.

В следующей теореме члены ряда - любые числа, быть может, и мнимые. Из

их модулей составим новый ряд ; члены этого ряда неотрицательны.

Теорема 8.Если сходится ряд , то сходится и ряд .

► Зададим некоторое ε > 0. Так как сходится, в силу критерия Коши (свой- ство 1, 2˚ ) существует натуральное n_ε такое, что при всех n > n_ε и любых натураль -ных р справедливо . Ho при этих n и p .Следовательно, для ряда выполнены требования критерия Коши:

N N N ( n > n_ε ) ,

поэтому ряд сходится . ◄

Пример 13. Рассмотрим ряд , где φ и λ – вещественные числа. Так как │exp(ikφ)│= 1, то . Отсюда ясно, что при λ ≤ 0 общий член рассмат- риваемого ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится, а при λ > 1 ряд сходится ( см. пример 6), значит, сходится и рассматриваемый ряд. Его поведение при будет выяснено ниже с помощью признака Дирихле.

Для.доказательства признака Дирихле нужна лемма Абеля

Лемма Абеля.Пусть и - наборы комплексных чисел Обозначим: V_q= ; V = max { |V₁| , |V₂| , … , |V_p| } . Тогда :

1) 2) если u₁ ≥ u₂ ≥ … ≥ u_p > 0 , то .

► Заметим : V₁ = v₁, а при j = 2,3, …, p v_j = V_j – V_j-1. Значит,

Раскрыв здесь скобки и приведя затем подобные, получим равенство 1).

◄

Теорема 9.( Признак Дирихле ) Пусть - невозрастающая последователь- ность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Обо- значим: В_р = . Если 1) и 2) существует М > 0 такое, что М при всех натуральных р, то ряд сходится.

► Покажем, что ряд удовлетворяет требованиям критерия Коши N N N( n > n_ε )

Зададим ε > 0. По условию 1) , значит, найдется натуральное n _ε такое, что из k > n _ε следует . Пусть n и р – натуральные числа, причем n > n _ε. Имеем: , где u _j = a_n+j , v _j = b _n+j . Заметим: u₁ ≥ u₂ ≥ … ≥ u_p > 0 . Обозначим: V_q = , V = max { |V₁| , |V₂| , … , |V_p| }. Так как V_q = = B_n+q – B_q, то при любом натуральном q имеем : | V_q | ≤ | B_n+q| + |B_q| ≤ 2M . Значит, V ≤ 2M . В силу утверждения 2) леммы Абеля , т.е. | | ≤ 2М a_n+1. Отсю- да и из неравенствa следует : | | < ε . Таким образом, для произволь- но заданного ε>0 существует натуральное n _ε , удовлетворяющее требованию критерия Коши ; поэтому ряд сходится. ◄

Пример 14. Вернемся к рассмотрению ряда . Пусть 0 < λ ≤ 1. Ввиду 2π – периодичности exp(ikφ), достаточно рассматривать . При φ = 0 рас- сматриваемый ряд превращается в , который при 0 < λ ≤ 1 расходится ( пример 6). Пусть φ . При всяком k Nположим где q = . Заметим: при 0 < λ ≤ 1 последовательность убывает и стремится к нулю; далее, при φ q отлично от единицы, поэтому B_p = , и, значит, |B_p| , где М от р не зависит. Таким образом, последовательности и удовлетворяют требованиям приз- нака Дирихле, значит, ряд , т.е. при 0 < λ ≤ 1 и φ сходится.

Теорема 10.( Признак Абеля) Пусть - невозрастающая последовательность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Если схо- дится ряд , то сходится и ряд .

► Обозначим: . Заметим: {c_k} – невозрастающая бесконечно малая последовательность положительных чисел; {B_p} – последова- тельность частичных сумм сходящегося ряда, значит, это сходящаяся и потому огра- ниченная последовательность. По признаку Дирихле ряд , т.е. схо- дится. Но , а это означает, что ряд является суммой двух сходящихся рядов и . Следовательно ( свойство 5, 2˚ ), ряд сходится. ◄

5 ˚. Абсолютно сходящиеся ряды