Частица в поле с центральной симметрией

Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(5.5)

Рис.5.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(5.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (5.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ²)^1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(5.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

имеет вид

(5.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E < ћ²π²/(2mL²). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 5.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ|² определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(5.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(5.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме Одномерная прямоугольная яма шириной L: n = 1, 2, … Одномерный гармонический осциллятор: En = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(5.14)

Решение уравнения (5.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)

(5.16)

или

Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)

(5.17)

Уравнение (5.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента ². Уравнение (5.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 5.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 5.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ²/m_ee² ≈ 0.529·10⁸ cм.

Решения уравнения существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число). Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым: n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

Поиск по сайту: