Задание: составить модель динамики экономики с дополнительными эффективностями.
Данная модель описывается следующей системой уравнений:
, где
х(t) – валовый продукт в стоимостном выражении, y(t) – темп роста валового продукта, z(t) – платежеспособный спрос (денежные ресурсы потребителей), показывает уменьшение валового продукта в единицу времени из-за непроизводительных затрат, r1 и k – коэффициенты непроизводительных затрат, показывает увеличение темпа работы из-за вовлечения в процесс производства созданного валового продукты и трудового ресурса, - эффективности соответствующих процессов.
Начальные условия
X(0)=0
Y(0)=0
С помощью пакета Maple исследуем модель
Находим решения x* и y*, исследуем положение равновесия:
> dx:=x*y-(k+(1/r1))*x;
y1:=k+1/r1;
> dy:=a*x*y + e2*x*y^2 - e1*y^2 - yy*y - b*(x-z);
> x1:=(e1(y1)^2+yy*y1-z*b)/(a*y+e2*y^2-b);
>
> DXx:=diff(dx,x);
> DYx:=diff(dx,y);
> DXy:=diff(dy,x);
> DYy:=diff(dy,y);
Находим типовые решения x* и y*:
> y:=y1;
> x:=x1;
> DXx;
> DYy;
> DXy;
> DYx;
Анализируем систему уравнений, подставляя различные значения коэффициентов:
1) r1 – время существования продукта (живучесть).
Возьмем r1->беск и r2->беск. В этом случае спрос будет только расти и продукт увеличиваться. Равновесие с точки зрения спроса не существует => данный вариант не рассматривается.
Вывод: модель динамики экономики с дополнительными эффективностями была проанализирована, были найдены значения коэффициентов, при которых модель становится устойчивой и неустойчивой.