Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M_о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R_x = R_y = R_z = 0 и M_x= M_y = M_z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

ΣX_i = 0; ΣM_x (P_i) = 0;

ΣY_i = 0; ΣM_y (P_i) = 0;

ΣZ_i = 0; ΣM_z (P_i) = 0.

Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.

В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми.

Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz, имеют вид:

ΣZ_i = 0;

ΣM_x (P_i) = 0;

ΣM_y (P_i) = 0.

Задачи на равновесие тела под действием пространст­венной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекоменду­ется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС. На краю рамы находится груз весом Р. Опреде­лим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р. Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Жела­тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

Рекомендуется составлять уравнения моментов относительно трёх точек, точек пересечения линий действия неизвестных сил.

В нашей задаче это точка А, где приложены неизвестные и ; точка С, где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D – точка пересечения линий действия сил и . Со­ставим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме­чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим

Из третьего

И из первого

Так как получилось S<0, то стержень ВС будет сжат.

Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в гори­зонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD, прикреплён­ными к стене в точке Е. Стержни одинаковой длины, AB=2a, EO=a. Определим усилия в стержнях и ре­акции петель А и В.

Рис.46

Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпенди­кулярными оси петли: .

Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в про­странстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.

Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.

Составим такие уравнения:

Из уравнения (1) получим: S₁=S₂. Тогда из (4): .

Из (3): Y_A=Y_B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S₁=S₂, следует Z_A=Z_B. Тогда по (2) Z_A=Z_B=P/4.

Из треугольника , где , следует ,

Поэтому Y_A=Y_B=0,25P, Z_A=Z_B0,25P.

Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и по­смотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:

Задача решена правильно.

Вопросы для самопроверки

- Какая конструкция называется фермой?

- Назовите основные составные элементы фермы.

- Какой стержень фермы называется нулевым?

- Сформулируйте леммы, определяющие нулевой стержень фермы.

- В чем заключается сущность способа вырезания узлов?

- На основании каких соображений без вычислений можно определить стержни пространственных ферм, в которых при заданной нагрузке усилия равны нулю?

- В чем заключается сущность способа Риттера?

- Каково соотношение между нормальной реакцией поверхности и силой нормального давления?

- Что называется силой трения?

- Запишите закон Амонтона-Кулона.

- Сформулируйте основной закон трения. Что такое коэффициент трения, угол трения и от чего зависит их значение?

- Брус находится в равновесии, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол; центр тяжести бруса находится в его середине. Можно ли определить направление полной реакции пола?

- Назовите размерность коэффициента трения скольжения.

- Что такое предельная сила трения скольжения.

- Что характеризует конус трения?

- Назовите причину появления момента трения качения.

- Какова размерность коэффициента трения качения?

- Приведите примеры устройств, в которых возникает трение верчения.

- В чем заключается разница между силой сцепления и силой трения?

- Что называют конусом сцепления?

- Каковы возможные направления реакции шероховатой поверхности?

- Что представляет собой область равновесия и каковы условия равновесия сил, приложенных к бруску, опирающемуся на две шероховатые поверхности?

- Что называется моментом силы относительно точки? Какова размерность этой величины?

- Как вычислить модуль момента силы относительно точки?

- Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.

- Что называется моментом силы относительно оси?

- Запишите формулу, связывающую момент силы относительно точки с моментом этой же силы относительно оси, проходящей через эту точку.

- Как определяется момент силы относительно оси?

- Почему при определении момента силы относительно оси нужно обязательно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси?

- Каким образом нужно располо­жить ось, чтобы момент данной силы относительно этой оси равнялся нулю?

- Приведите формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.

- Как направлен вектор момента силы относительно относительно точки?

- Как определяется на плоскости момент силы относительно точки?

- Какой площадью можно определить числовое значение момента силы относительно данной точки?

- Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?

- В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?

- Определите геометрическое место точек пространства, относительно которых моменты данной силы:

а) геометрически равны;

б) равны по модулю.

- Как определяются числовое значение и знак момента силы относительно оси?

- При каких условиях момент силы относительно оси равен нулю?

- При каком направлении силы, приложенной к заданной точке, ее момент относительно данной оси наибольший?

- Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

- При каких условиях модуль момента силы относительно точки равен моменту той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

- Каковы аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей?

- Чему равны главные моменты системы сил, произвольно расположенных в пространстве, относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку? Какова зависимость между ними?

- Чему равен главный момент системы сил, лежащих в одной плоскости, относительно любой точки этой плоскости?

- Чему равен главный момент сил, составляющих пару, относительно любой точки в пространстве?

- Что называется главным моментом системы сил относительно заданного полюса?

- Как формулируется лемма о параллельном переносе силы?

- Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

- Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

- Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

- Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

- Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

- Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

- При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?

- Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?

- Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

- К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

- Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

- Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

- Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

- Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

- Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

- Какую прямую в пространстве называют центральной осью системы сил?

- Выведите уравнения центральной оси системы сил?

- Покажите, что две скрещивающиеся силы можно привести к силовому винту.

- По какой формуле вычисляют наименьший главный момент заданной системы сил?

- Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

- Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

- Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

- Какова зависимость главного момента системы сил в пространстве от расстояния центра приведения до центральной оси этой системы сил?

- Относительно каких точек пространства главные моменты заданной системы сил имеют один и тот же модуль и составляют с главным вектором один и тот же угол?

- Относительно каких точек пространства главные моменты системы сил геометрически равны между собой?

- Каковы инварианты системы сил?

- Каким условиям удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной и двумя закрепленными точками, находящемуся в покое?

- Будет ли в равновесии плоская система сил, для которой алгебраические суммы моментов относительно трех точек, расположенных на одной прямой, равны нулю?

- Пусть для плоской системы сил суммы моментов относительно двух точек равны нулю. При каких дополнительных условиях система будет в равновесии?

- Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

- Что такое моментная точка?

- Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?

- Изложите рекомендации предпочтительного выбора моментных точек и объясните их.

- С чего рекомендуется начинать решение задачи на равновесие системы сил?

- Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?

Поиск по сайту: