Исследование влиянии параметров колебательной системы на потенциальную энергию и характеристику восстанавливающей силы нелинейной и линеаризованной в малом системы

Для исследования влияния параметров МС на потенциальную энергию использовалась формула (0.1), а на характеристику восстанавливающей силы - (0.2). При этом номинальные параметры МС (табл. 0.1) с₀, S₀ и l уменьшались в 1,1 раза и увеличилось в 4 раза(рис. 0.1а , 0.1б, 0.1в).

Для того чтобы все кривые потенциальной энергии проходили через начало координат, из выражения (0.1) вычиталось содержащееся в ней слагаемое l/2 c₀ S₀², которое не зависит от обобщённой координаты q.

Рис. 0.2. Влияние параметров МС на точную потенциальную энергию системы:

а) – жесткости пружины 3: 1-с₀=4500Н/м; 2-5000Н/м; 3-20000Н/м;

б) – расстояния L: 1-L=0,135м; 2-0,15м; 3-0,6м;

в) – начального натяжения S₀: 1- S₀=0,0018м; 2-0,002м; 3-0,008м.

Рис. 0.3. Влияние параметров МС на точную характеристику восстанавливающей силы:

а) – жесткости пружины 3: 1-с₀=4500Н/м; 2-5000Н/м; 3-20000Н/м;

б) – расстояния L: 1-L=0,135м; 2-0,15м; 3-0,6м;

в) – начального натяжения S₀: 1- S₀=0,0018м; 2-0,002м; 3-0,008м.

Определение диапазона параметров линейности

МС на рис. 0.1 является нелинейной системой. Отклонения графиков потенциальной энергии от параболы, а восстанавливающей силы от прямой, начинаются сразу при отклонении обобщённой координаты q от нуля. Поэтому нужно принять какую-то величину отклонения линеаризованных кривых от точных нелинейных, в пределах которой систему допустимо считать линейной. Обычно эта величина отклонения составляет [ɛ]- 5.. 15%. Графики на рис. 0.2 и 0.3 показывают, что наиболее круто семейства характеристик проходят при с0 = 20000Н/м; l= 0,135 м; и s0 = 0,008м. Построим для МС с такими параметрами точные и линеаризованные графики потенциальной энергии и восстанавливающей силы (рис. 0.4).

Рис.0.4. Сравнение точных и линеаризованных характеристик при специальном сочетании параметров

с_0, l и s_0: а) – потенциальной энергии; б) – восстанавливающей силы.

Найдем допустимый диапазон обобщенной координаты [q], в котором с заданной погрешностью [ԑ] нелинейную МС на рис. 0.1 можно считать линейной. Для этого варяируя обобщенную координату, вычислим соответствующее расхождение между П, Пlin и F, Flin.

Выводы

1. Увеличение жёсткости пружины и её начального натяжения в рассматриваемой МС сужает допустимый отрезок обобщённой координаты [q], на котором систему с заданной точностью можно считать линейной. Жёсткость линейной системы прямо зависит от жёсткости пружины и от её начального натяжения.

2. Уменьшение расстояния между опорами при сохранении жёсткости пружины также сужает допустимый отрезок обобщённой координаты [q], на котором систему с заданной точностью можно считать линейной. Жёсткость системы обратно зависит от расстояния между опорами.

3. При наиболее неблагоприятном сочетании параметров с0, l, s0 из рассматриваемых диапазонов их изменения с погрешностью ɛ = 15% за диапазон линейности можно принять отрезок изменения обобщённой координаты [q] = [-0,01..0,01]м.

Поиск по сайту: