КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

В математике очень широко применяется решение задач с помощью комплексных чисел, но что такое комплексные числа и как они нашли себя в электротехнике?

Первоначально математики столкнулись с мнимой единицей i= , когда стало не хватать действительного числа, а именно при решении простейшего квадратного уравнения , где «p» и «q» — действительные числа. При вычислении его корней по всем известным формулам, математики еще до XVI века сталкивались с проблемой отрицательного корня. В действительности, никто не мог объяснить какой смысл следует придавать этому выражению и, в следствие,

решили, что корень из отрицательного числа не имеет смысла. И это работало, было легко показать, что при отрицательном корне, решением было ни положительное число, ни отрицательное, ни нуль.

Однако в дальнейшем, при решении кубических уравнений отказываться от отрицательного корня уже было невозможно.

математики пошли на изучение мнимых чисел, дали возможность им

существовать. Затем было обнаружено, что многие громоздкие задачи в математике решаются гораздо проще, если пользоваться мнимыми числами. К.Ф. Гаусс предложил называть

мнимые числа комплексными, что впоследствии прижилось.

вскоре ученые столкнулись с проблемой при решении задач электротехники.

Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока сводится к решению множества интегралов, а решение их становится столь сложным, что взять их не по силу даже

опытным математикам. Определение крайне упростилось и стало более элегантно при применении комплексных чисел.

Наиболее удобная для проведения расчетов координатная система стала комплексная, так

как вектор можно определить четырьмя различными формами записи:

· Алгебраическая форма: , надо заметить, что в математике знак мнимой части используется как « », но в электротехнике этим знаком обозначается ток, по этому было решено заменить его на « ». Знак « » не говорит ни о каком-либо сложении, он только указывает на то, что мы объединяем два действительных числа в нечто единое. На комплексной плоскости « » и « » координаты конца вектора тока, по мнимой и действительной оси.

· Тригонометрическая форма: запись результата вещественной и мнимой части через модуль « » и аргумент « »

· Показательная форма: — получается путем применения формулы Эйлера к тригонометрической.

· Полярная форма: — запись, не использующаяся для расчетов.

Рассмотрим типичную задачу в электротехнике: сложение токов. представим, что фаза у токов отличается. Например, равняется не нулю, а скажем, 30 , :

Рисунок 4. Синусоиды тока с разной фазой

Решение:

;

по формуле суммы углов:

Воспользуемся методом введения дополнительного угла, чтобы привести уравнение к виду: ;

Так как у нас есть составляющие: и , найдем и .

По основному тождеству тригонометрии: , значит:

Находим и через и :

Подставляем в :

.

Как видим, такая, простая на первый взгляд, задача переливается в уравнение, которое заставит посидеть и подумать «как же оно решается.Теперь рассмотрим эту задачу с применением комплексных чисел, мы уже знаем, что такое комплексное число и в состоянии перевести в него уравнение синусоиды тока.

Итак:

; ,

сложим:

.

Решение в 2 строки, а результаты те же.

Выводы: На этом простейшем примере хорошо видно как комплексные числа упростили решение. Сейчас же ни одна задача в электротехнике не решается без них. Мнимые числа необходимая составляющая электротехники.

Поиск по сайту: