Для каждой физической системы мы можем ввести функцию Лагранжа, описывающую эволюцию системы:
Ставится задача: как выбрать истинную траекторию.
Введем понятие принципа наименьшего действия (ПНД):
– действие вдоль траектории.
Истинная траектория между точками 1 и 2 - это та траектория, действие вдоль которой минимально.
При переходе к четырехмерному пространству формулировка ПНД не меняется. Траектория – мировая линия.
Рассмотрим пустое пространство и свободную частицу. Лагранжиан такой частицы:
, траектория – прямая линия.
Сформулируем дополнительное условие на ПНД исходя из равноправности систем отсчета: действие должно быть скалярным.
Траектория также не должна изменяться из одной ИСО в другую ИСО.
Найдем выражение Лагранжиана для свободной частицы в четырехмерном пространстве и времени.
Разобьем траекторию на маленькие интервалы dS.
inv характеристика траекторий длина
– не меняет сущности действия
При V 0 и разложив это выражение в ряд
Можно потребовать, что на малых скоростях Лагранжиан должен преобразовываться к классическому виду.
Множитель αc = const – соответственно
, =>
– релятивистское выражение для Лагранжиана свободной частицы.
Соответственно, зная функцию Лагранжа, можно установить характеристики частиц при любых скоростях.
, ,
= , = = , = = , = =
=
+ + - L = + m = E = =
E =
При скорости движения равной нулю, любая частица обладает энергией (энергия покоя).
= - формула Эйнштейна, это есть следствие инвариантности ПНД.
Если скорость частицы отлична от нуля, то полная энергия .
Из выражения для импульса и энергии частицы можно выразить связь между p и E.
Это выражение позволяет вычислить импульс частицы без массы, то есть если объект обладает энергией, то он обладает и импульсом.
Приведем рассмотренные величины к четырехмерной форме записи.
= m = ( )
Четвертой компонентой импульса является энергия, поэтому энергии.
В четырехмерном мире нельзя рассматривать отдельно импульс и энергию, так как они являются компонентами одного вектора:
=
= γ( - i ), = , = , = γ(i + )
= γ( - i ) = γ( + )
= γ( + ) => E=γ(V + E’)
Алгоритм отыскания преобразования величины при переходе из одной ИСО в другую:
1. Определение трехмерной величины как четырехмерной
2. Применение преобразования
3. Раскрытие индексной формы записи
Найдем четырехмерную функцию Гамильтона:
= = = -m = + + + = -
= +
_______________________________________
X мерный потенциал
Перейдем к описанию электрических явлений. ЭМП р/м как самостоятельно существующий объект. Для выявления существования поля проведем мысленный эксперимент.
Частицы движутся равномерно. Относительно движущейся системы события в точке А и В будут неодновременными. С точки зрения движущегося наблюдателя события в точке А наступит раньше, чем в В |=> в какой-то момент времени первая частица будет двигаться без ускорения, а вторая ускоренно |=> изменится импульс системы на некотором промежутке времени |=> нарушается закон сохранения импульса (этого быть не должно) |=> в нашей системе чего-то нахватает.
Способ разрешения парадокса - предположение существования 3-го объекта – ЭМП. Данный прим. показывает, что ЭМП существует как самостоятельный объект. Заряженные частицы никогда не взаимодействуют друг с другом. Они всегда взаимодействуют с полем.
Каковы обобщенные координаты ЭМП? Обобщение большого количества материальных факторов приводит к утверждению, что заряд частицы полностью описывает эл.маг. свойства этой частицы.
Заряд - это скаляр инвариант. ЭМП полностью и однозначно описывается 4-х вектором Ai(ri). Этот вектор мы будем называть 4-х мерным потенциалом ЭМП. Ai – принадлежит всему пространству.
Обратимся к принципу наименьшего действия. Действие для частицы, находящейся в ЭМП, можно описать как . Где - действие свободной частицы, – взаимодействие частицы и поля
предполагается что - заданная величина.
При наличии поля лучшей траекторией будет не прямая, а кривая. Это обусловлено существованием потенциала
Исходя из этих позиций найдем функцию Лагранжа для частицы во внешнем ЭМП.