Определение 6.Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом. Это ряд вида:
2+…+ +… (5)
где сn – комплексные числа.
Члены ряда fn(z)= – степенные функции, которые аналитические на всей комплексной плоскости, поэтому для степенных рядов справедливы все предыдущие теоремы для функциональных рядов. Выясним характер области сходимости степенного ряда.
Теорема 9.(Абель 1802-1829) Если степенной ряд (5) сходится в точке z1≠z0, то он абсолютно сходится в z-z0|<|z1-z0|,причем в круге z-z0|=r, где r< |z1-z0|, степенной ряд (5) сходится равномерно. Если ряд (5) расходится в точке z1, то он расходится во всех точках z, таких, что z-z0|>|z1-z0|.
□ Пусть z - произвольная точка, удовлетворяющая неравенству z-z0|<|z1-z0|. Тогда, поскольку ряд сходится, согласно необходимому признаку предел общего члена равен нулю, т.е. . Т.к. последовательность сходится, то она ограничена, откуда существует некоторая постоянная M, что
|сn||z-z0|n≤M. Из этого неравенства получим оценку коэффициентов ряда:
|сn|≤ .
Теперь оценим ряд по модулю:
| |≤ |= ≤
≤ M .
Обозначим через q=| , то из условия теоремы следует, что q=| <1. Это означает, что ряд в правой части представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. он сходится. Поэтому, по признаку сравнения, исходный степенной ряд сходится абсолютно в области |z-z0|<|z1-z0|.
Если же z рассматривать только из замкнутого круга |z-z0|≤ R <|z1-z0|, то
, а это означает, что степенной ряд (5) мажорируется сходящимся числовым рядом и по признаку Вейерштрасса он сходится равномерно в круге |z-z0|≤ r <|z1-z0|.
Пусть теперь ряд (5) расходится в точке z1. Предположим, что в точке z2 такой, что |z2-z0|>|z1-z0| он сходится. Тогда по предыдущему утверждению (5) сходится и в точке z1, что противоречит условию. ■
Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Ясно, что в точке z=z0 ряд сходится. Если область сходимости отлична от одной этой точки и от всей комплексной плоскости то существует число R, называемое радиусом сходимости, которое может принимать значение от 0 до ∞ такое, что в круге |z-z0|< R ряд сходится, а вне круга, т.е. при |z-z0|>R, расходится. В случае R=0 говорят, что ряд сходится только в точке z0, в случае R=∞, говорят, что область сходимости вся комплексная плоскость.
Как и в случае степенных рядов действительных чисел для определения радиуса сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши. Откуда следуют формулы для радиуса сходимости степенного ряда:
или (формула Коши- Адамара).
Пример 3.Найти область сходимости ряда
Решение. Применяя признак Даламбера к ряду , будем иметь:
=
а это означает, что ряд сходится на всей комплексной плоскости (z).
Пример 4.Найти круг сходимости ряда
Решение. Применяя признак Коши, находим
=
т.е. ряд сходится в круге
Члены степенного ряда, т.е. функции fn(z)=cn (z-z0)n, являются аналитическими функциями на всей плоскости. Кроме того, в силу теоремы Абеля в любом замкнутом круге, лежащем в круге сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Поэтому к степенным рядам применима теорема Вейерштрасса, из которой получаются следующие утверждения:
Теорема 10.Пусть степенной ряд (5)сходится в круге к функции f(z), тогда:
а) f(z) – аналитическая функция в круге
б) степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости продифференцированных рядов также равен R.
в) степенной ряд можно почленно интегрировать, причем проинтегрированный ряд сходится в том же круге, что и ряд(5). Пример 5.Используясвойства степенных рядов, найти сумму ряда
Решение. Обозначая сумму ряда через φ(z) и применяя теорему 10, получим
.
Следовательно, для |z|<1 имеем
.
Пусть функция f(z) является суммой степенного ряда в его круге сходимости, т.е. f(z)= . Положим z=z0и получим, что f(z0)=с0. Продифференцируем степенной ряд один раз:
f’(z)=с1+2с2(z-z0)+…+nсn(z-z0)n-1+…
При z=z0 f’(z0)=с1=>с1= . Продолжая дифференцировать, при z=z0 по индукции, получим, что
сn= .
Выражение (6) можно составить для любой бесконечно дифференцируемой в точке z0 функции f(z). Эти выражения сn называются коэффициентами Тейлора функции f(z) в точке z0. Формально составленный степенной ряд с этими коэффициентами называется рядом Тейлора по степеням (z-z0) и имеет вид:
В случае z0=0 этот ряд называется также рядом Маклорена функции f(z).
Вопрос: всегда ли формально составленный ряд (7) будет сходиться в своем круге сходимости к функции, для которой он составлен? Из теоремы 10 следует, что функция f(z) должна быть аналитической в круге сходимости её ряда Тейлора, а не только бесконечно дифференцируемой в точке z0. Это подтверждает следующий пример Коши.
Пусть функция φ(х) определена следующим образом:
Её производная в точке х=0 равна нулю:
.
Таким же образом можно показать, что для всех m=1,2,3,…Следовательно, формально составленный ряд Тейлора по степеням х функции φ(х) имеет все коэффициенты равные нулю, т.е. сходится к тождественному нулю, хотя φ(х)
Теорема 11.(Тейлор 1685-1731)Если функция f(z) аналитическая внутри круга |z-z0|<R , то формально составленный ряд Тейлора (7) будет сходиться в этом круге к функции f(z), причем коэффициенты ряда определяются по формулам сn==n+1d,(n=0,1,2…), где любой замкнутый контур, целиком лежащий в области D и содержащий внутри себя точку z0.
□ В круге | z-z0|<R возьмем произвольную точку z и построим окружность Cr радиуса r< R так что точка z, лежащая внутри этой окружности запишем в точке z интегральную формулу Коши:
f(z)=
тогда, преобразовывая, получим
При имеем | |<1, тогда
n= . (8)
При каждом фиксированном z из круга |z-z0|<R ряд (8) сходится равномерно и по теореме 11 его можно почленно интегрировать. Производя интегрирование, получим
Здесь
сn==n+1d,(n=0,1,2…).
Таким образом, при любом z круга |z-z0|<R справедливо равенство (7).А так как точка z и окружность Crвыбраны произвольно, то теорема доказана. Причем вместо окружности Cr, согласно теореме Коши, можно взять любой контур , содержащий в себе точку z. Единственность в разложении ряда Тейлора справедлива, так как коэффициенты ряда Тейлора определяются единственным образом через производную. ■
Замечание. Если f(z) аналитическая в некоторой односвязной области D, то ее можно разложить в степенной ряд, который будет сходиться к этой функции в круге |z-z0|<R, где R= .
Как и для функций действительной переменной, имеют место разложения некоторых функций в ряд Тейлора:
;
sin z =
Как правило, на практике, для разложения в степенные ряды пользуются не вычислением коэффициентов ряда через производные или интегралы, а известными разложениями элементарных функций и теоремами о дифференцировании и интегрировании рядов.
Пример 5.Разложить функцию в степенной ряд.
Решение.
.
Область сходимости находится из условия: |.
Ряд Лорана.
Определение 7.Функциональный ряд вида
+…. (9)
называется рядом Лорана.
Комплексные числа = ) называются коэффициентами ряда Лорана, при этом слагаемые с отрицательными индексами образуют часть ряда Лорана называемую главной, а неотрицательными образует часть, называемую правильной частью ряда Лорана.
Правильная часть есть степенной ряд, который сходится в некотором круге |z-z0|<R1 к функции f1(z). Обозначим через Тогда степенной ряд будет сходиться в круге | к некоторой функции g(ς) при , где g(ς)=g =f2(z). Таким образом область сходимости ряда Лорана будет не пустой, если R2<|z-z0|<R1, где ряд Лорана будет сходиться к функции f(z)=f1(z)+f2(z).
Теорема 12.(Лоран 1813-1854, фр.)Функция f(z), аналитическая в кольце R2<|z-z0|<R1 однозначно представляется в нем сходящимся рядом Лорана (9), причем коэффициенты ряда вычислялся по формулам
n+1d , n=0, , (10)
где С - окружность радиуса r, удовлетворяющего неравенству R2 <r<R1.
□ Возьмем произвольную в кольце точку z и построим окружности C1: |z-z0|=r1 и C2: |z-z0|=r2, радиусы, которые удовлетворяют условию R2<r2<r1<R1 и точка z лежит между этими окружностями.Для точки z запишем интегральную формулу Коши:
f(z)=d + d = f1(z)+f2(z).
Рассмотрим первый интеграл. По аналогии с доказательством теоремы Тейлора, т.к. , представим f1(z) в виде ряда.
f1(z)=d =
= ,
где
= (11)
и последний ряд сходится в круге
Далее, преобразуем
, подставим во второй интеграл и представим функцию f2(z) в виде ряда
d =
= = ,
который сходится вне круга и
(n=1,2,3…). (12)
Подинтегральные функции аналитические в кольце R2<|z-z0|<R1, поэтому в силу теоремы Коши значение интеграла по С1 и С2 не изменится при произвольной деформации этих контуров в пределах области аналитичности. Это позволяет объединить формулы (11) и (12) для коэффициентов ряда Лорана в одну формулу
n+1d, n=0,1,2… ,
где С - окружность с центром в точке z0 радиуса R2<r<R1.
В итоге получаем искомое разложение в ряд Лорана, которое справедливо внутри кольца. Единственность разложения следует из единственности способа вычисления коэффициентов ряда Лорана сn. ■
Замечание.На практике, при разложении функции z в ряд Лорана обычно находят особые точки функции, выделяют область аналитичности. Функцию f(z) представляют как сумму f(z)=f1(z)f2(z), либо разность двух функций, реже как произведение f(z)= и каждую из них раскладывают в ряды.
Пример 6.Разложить в ряд Лорана в кольце функцию
.
Пример 7.Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции