Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Степенные ряды. Ряд Тейлора



Определение 6.Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом. Это ряд вида:

2+…+ +… (5)

где сn – комплексные числа.

Члены ряда fn(z)= – степенные функции, которые аналитические на всей комплексной плоскости, поэтому для степенных рядов справедливы все предыдущие теоремы для функциональных рядов. Выясним характер области сходимости степенного ряда.

Теорема 9.(Абель 1802-1829) Если степенной ряд (5) сходится в точке z1≠z0, то он абсолютно сходится в z-z0|<|z1-z0|,причем в круге z-z0|=r, где r< |z1-z0|, степенной ряд (5) сходится равномерно. Если ряд (5) расходится в точке z1, то он расходится во всех точках z, таких, что z-z0|>|z1-z0|.

□ Пусть z - произвольная точка, удовлетворяющая неравенству z-z0|<|z1-z0|. Тогда, поскольку ряд сходится, согласно необходимому признаку предел общего члена равен нулю, т.е. . Т.к. последовательность сходится, то она ограничена, откуда существует некоторая постоянная M, что

|сn||z-z0|n≤M. Из этого неравенства получим оценку коэффициентов ряда:

n|≤ .

Теперь оценим ряд по модулю:

| |≤ |=

M .

Обозначим через q=| , то из условия теоремы следует, что q=| <1. Это означает, что ряд в правой части представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. он сходится. Поэтому, по признаку сравнения, исходный степенной ряд сходится абсолютно в области |z-z0|<|z1-z0|.

Если же z рассматривать только из замкнутого круга |z-z0|≤ R <|z1-z0|, то

, а это означает, что степенной ряд (5) мажорируется сходящимся числовым рядом и по признаку Вейерштрасса он сходится равномерно в круге |z-z0|≤ r <|z1-z0|.

Пусть теперь ряд (5) расходится в точке z1. Предположим, что в точке z2 такой, что |z2-z0|>|z1-z0| он сходится. Тогда по предыдущему утверждению (5) сходится и в точке z1, что противоречит условию. ■

Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Ясно, что в точке z=z0 ряд сходится. Если область сходимости отлична от одной этой точки и от всей комплексной плоскости то существует число R, называемое радиусом сходимости, которое может принимать значение от 0 до ∞ такое, что в круге |z-z0|< R ряд сходится, а вне круга, т.е. при |z-z0|>R, расходится. В случае R=0 говорят, что ряд сходится только в точке z0, в случае R=∞, говорят, что область сходимости вся комплексная плоскость.

Как и в случае степенных рядов действительных чисел для определения радиуса сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши. Откуда следуют формулы для радиуса сходимости степенного ряда:

или (формула Коши- Адамара).

Пример 3.Найти область сходимости ряда

Решение. Применяя признак Даламбера к ряду , будем иметь:

=

а это означает, что ряд сходится на всей комплексной плоскости (z).

Пример 4.Найти круг сходимости ряда

Решение. Применяя признак Коши, находим

=

т.е. ряд сходится в круге

Члены степенного ряда, т.е. функции fn(z)=cn (z-z0)n, являются аналитическими функциями на всей плоскости. Кроме того, в силу теоремы Абеля в любом замкнутом круге, лежащем в круге сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Поэтому к степенным рядам применима теорема Вейерштрасса, из которой получаются следующие утверждения:

Теорема 10.Пусть степенной ряд (5)сходится в круге к функции f(z), тогда:

а) f(z) – аналитическая функция в круге

б) степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости продифференцированных рядов также равен R.

в) степенной ряд можно почленно интегрировать, причем проинтегрированный ряд сходится в том же круге, что и ряд(5). Пример 5.Используясвойства степенных рядов, найти сумму ряда

Решение. Обозначая сумму ряда через φ(z) и применяя теорему 10, получим

.

Следовательно, для |z|<1 имеем

.

 

Пусть функция f(z) является суммой степенного ряда в его круге сходимости, т.е. f(z)= . Положим z=z0 и получим, что f(z0)=с0. Продифференцируем степенной ряд один раз:

f’(z)=с1+2с2(z-z0)+…+nсn(z-z0)n-1+…

При z=z0 f’(z0)=с1=>с1= . Продолжая дифференцировать, при z=z0 по индукции, получим, что

сn= .

Выражение (6) можно составить для любой бесконечно дифференцируемой в точке z0 функции f(z). Эти выражения сn называются коэффициентами Тейлора функции f(z) в точке z0. Формально составленный степенной ряд с этими коэффициентами называется рядом Тейлора по степеням (z-z0) и имеет вид:

В случае z0=0 этот ряд называется также рядом Маклорена функции f(z).

Вопрос: всегда ли формально составленный ряд (7) будет сходиться в своем круге сходимости к функции, для которой он составлен? Из теоремы 10 следует, что функция f(z) должна быть аналитической в круге сходимости её ряда Тейлора, а не только бесконечно дифференцируемой в точке z0. Это подтверждает следующий пример Коши.

Пусть функция φ(х) определена следующим образом:

 

Её производная в точке х=0 равна нулю:

.

Таким же образом можно показать, что для всех m=1,2,3,…Следовательно, формально составленный ряд Тейлора по степеням х функции φ(х) имеет все коэффициенты равные нулю, т.е. сходится к тождественному нулю, хотя φ(х)

Теорема 11.(Тейлор 1685-1731)Если функция f(z) аналитическая внутри круга |z-z0|<R , то формально составленный ряд Тейлора (7) будет сходиться в этом круге к функции f(z), причем коэффициенты ряда определяются по формулам сn= = n+1d ,(n=0,1,2…), где любой замкнутый контур, целиком лежащий в области D и содержащий внутри себя точку z0.

□ В круге | z-z0|<R возьмем произвольную точку z и построим окружность Cr радиуса r< R так что точка z, лежащая внутри этой окружности запишем в точке z интегральную формулу Коши:

f(z)=

тогда, преобразовывая, получим

При имеем | |<1, тогда

n= . (8)

При каждом фиксированном z из круга |z-z0|<R ряд (8) сходится равномерно и по теореме 11 его можно почленно интегрировать. Производя интегрирование, получим

Здесь

сn= = n+1d ,(n=0,1,2…).

 

Таким образом, при любом z круга |z-z0|<R справедливо равенство (7).А так как точка z и окружность Cr выбраны произвольно, то теорема доказана. Причем вместо окружности Cr, согласно теореме Коши, можно взять любой контур , содержащий в себе точку z. Единственность в разложении ряда Тейлора справедлива, так как коэффициенты ряда Тейлора определяются единственным образом через производную. ■

Замечание. Если f(z) аналитическая в некоторой односвязной области D, то ее можно разложить в степенной ряд, который будет сходиться к этой функции в круге |z-z0|<R, где R= .

Как и для функций действительной переменной, имеют место разложения некоторых функций в ряд Тейлора:

;

sin z =

Как правило, на практике, для разложения в степенные ряды пользуются не вычислением коэффициентов ряда через производные или интегралы, а известными разложениями элементарных функций и теоремами о дифференцировании и интегрировании рядов.

Пример 5.Разложить функцию в степенной ряд.

Решение.

.

Область сходимости находится из условия: | .

 

Ряд Лорана.

Определение 7.Функциональный ряд вида

+…. (9)

называется рядом Лорана.

Комплексные числа = ) называются коэффициентами ряда Лорана, при этом слагаемые с отрицательными индексами образуют часть ряда Лорана называемую главной, а неотрицательными образует часть, называемую правильной частью ряда Лорана.

Правильная часть есть степенной ряд, который сходится в некотором круге |z-z0|<R1 к функции f1(z). Обозначим через Тогда степенной ряд будет сходиться в круге | к некоторой функции g(ς) при , где g(ς)=g =f2(z). Таким образом область сходимости ряда Лорана будет не пустой, если R2<|z-z0|<R1, где ряд Лорана будет сходиться к функции f(z)=f1(z)+f2(z).

Теорема 12.(Лоран 1813-1854, фр.)Функция f(z), аналитическая в кольце R2<|z-z0|<R1 однозначно представляется в нем сходящимся рядом Лорана (9), причем коэффициенты ряда вычислялся по формулам

n+1d , n=0, , (10)

где С - окружность радиуса r, удовлетворяющего неравенству R2 <r<R1.

□ Возьмем произвольную в кольце точку z и построим окружности C1: |z-z0|=r1 и C2: |z-z0|=r2, радиусы, которые удовлетворяют условию R2<r2<r1<R1 и точка z лежит между этими окружностями.Для точки z запишем интегральную формулу Коши:

f(z)= d + d = f1(z)+f2(z).

Рассмотрим первый интеграл. По аналогии с доказательством теоремы Тейлора, т.к. , представим f1(z) в виде ряда.

f1(z)= d =

= ,

где

= (11)

и последний ряд сходится в круге

Далее, преобразуем

, подставим во второй интеграл и представим функцию f2(z) в виде ряда

d =

= = ,

который сходится вне круга и

(n=1,2,3…). (12)

Подинтегральные функции аналитические в кольце R2<|z-z0|<R1, поэтому в силу теоремы Коши значение интеграла по С1 и С2 не изменится при произвольной деформации этих контуров в пределах области аналитичности. Это позволяет объединить формулы (11) и (12) для коэффициентов ряда Лорана в одну формулу

n+1d , n=0,1,2… ,

где С - окружность с центром в точке z0 радиуса R2<r<R1.

В итоге получаем искомое разложение в ряд Лорана, которое справедливо внутри кольца. Единственность разложения следует из единственности способа вычисления коэффициентов ряда Лорана сn. ■

Замечание.На практике, при разложении функции z в ряд Лорана обычно находят особые точки функции, выделяют область аналитичности. Функцию f(z) представляют как сумму f(z)=f1(z) f2(z), либо разность двух функций, реже как произведение f(z)= и каждую из них раскладывают в ряды.

Пример 6.Разложить в ряд Лорана в кольце функцию

.

Пример 7.Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции

в точке z0=0.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.