Тригонометрические функции. Функции комплексного переменного:
Лекция
Функции комплексного переменного:
1.Множество комплексных чисел
< r
2.Внутренность круга радиусом r = и с центром z = 0.
= r
3, Смещение центра окружности
= r
4. Окружность с центром в точке и радиусом r.
r ⩽ < R
5. A< ImZ ⩽ B
6. A < ReZ < B
7. j < argZ <j
Понятие функции комплексного переменного.
Пусть D и E – два множества комплексных чисел.
Определение:
Если каждому комплексному числу z из множества D (z ∈ D) по некоторому закону f поставлено в соответствие определению комплексного числа W ∈ E , то говорят что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w = f(z).
Определение:
Множество D называется областью определения функции w = f(z), а множество E область значения функции и если f(D) ⊂ E.
Пример:
1) f(z) = –однозначная функция комплексной переменной
D(f) - вся комплексная плоскость
2) f(z) = – однозначная функция комплексной переменной
D (f) - вся комплексная плоскость
3) f(z) = (n⩾2) - многозначная функция комплексной переменной
D (f) - вся комплексная плоскость
4) f(z) = argZ = argz +2πk, k ∈ Z -
многозначная функция комплексной переменной
D (f) - вся комплексная плоскость
Функцию комплексноой переменной можно записать в следующем виде
f (z)=U(x,y) + I V(x,y) , где z = x + iy, z ∈ D
U(x,y) и V(x,y) – функции двух действительных переменных
U(x,y) = Ref(z) – действительная часть функции комплексного переменного
V(x,y) = Imf(z) – мнимая часть функции комплексного переменного
Пример:
Найти действительную и мнимую часть функции комплексного переменного