Исходные данные задачи. Система, изображенная на рис

Система, изображенная на рис. 15, приводится в движение постоянным моментом Н•м из состояния покоя.

Дано:

массы тел системы:

·

·

·

геометрические характеристики тел системы:

·

·

·

·

·

коэффициенты трения скольжения и трения качения:

·

·

путь, пройденный телом :

Определить:

· скорость и ускорение тела после прохождения им пути

· натяжение нитей и силу трения , препятствующую скольжению тела по плоскости.

Решение

1. Внешние силы, действующие на систему (рис. 15):

· силы тяжести тел системы ;

· движущий момент, действующий на тело ;

· реакции оси барабана ;

· нормальные реакции наклонной плоскости ( ; );

· силы трения , препятствующие скольжению тел ( );

· момент сопротивления качению тела по наклонной плоскости .

Так как силы и сила тяжести работы не совершают, работа внешних сил при движении системы определяется выражением

(68)

Здесь

– линейные перемещения центров тяжести тел параллельно наклонной плоскости;

– углы поворота тел относительно оси вращения и мгновенного центра скоростей , соответственно.

Рис. 16

Кинетическая энергия системы в момент, когда тело пройдет путь , равна сумме кинетических энергий тел системы

.

(69)

Здесь

· – кинетическая энергия тела , совершающего поступательное движение;

· – кинетическая энергия тела , совершающего вращательное движение;

· – кинетическая энергия тела , совершающего плоское движение.

2. Выполним кинематический расчет системы, выразив скорости и перемещения точек и тел системы через скорость и перемещение тела (рис. 16):

· – т.к. тела связаны нерастяжимой нитью; · – т.к. тело совершает мгновенное вращательное движение относительно мгновенного центра скоростей ; · ; · – т.к. тела связаны нерастяжимой нитью; · – тело совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через тоску .

(70)

По определению из зависимостей (70) следует:

· ; · ; · .

(71)

Интегрируя выражения (71) с учетом начальных условий (при ), находим:

· ; · ; · .

(72)

3. Подставив полученные выражения скоростей и перемещений в формулы (68), (69) для определения кинетической энергии и работы внешних сил, получим

	(73)

.

(74)

Принимая во внимание, что

; ; ,

с учетом выражения

,

находим

=

(75)

Приравнивая изменение кинетической энергии работе внешних сил, получаем

(76)

В момент времени, когда , скорость движения тела равна

.

(77)

Чтобы определить ускорение тела после прохождения им пути воспользуемся аналитической зависимостью (76). Продифференцировав равенство по переменной , получим

.

(78)

По определению и из (78) следует

.

(79)

4. Определить силы натяжения нитей и силы трения можно, если расчленить систему на отдельные тела и рассмотреть уравнения движения каждого (рис. 17).

Выберем оси координат , как показано на рис.17, а направления положительного вращения установим в соответствии с направлениями угловых скоростей .

Составим дифференциальные уравнения движения тел системы:

тело совершает поступательное движение и не перемещается в направлении оси

(80)

тело совершает плоскопараллельное движение и его центр масс не смещается в направлении оси

Рис. 17
	(81)

тело совершает вращательное движение

(82)

Для определения значений сил, действующих на тела системы, проведем кинематический расчет системы и выразим ускорения отдельных точек и тел через известное ускорение тела :

так как нить нерастяжима, то

(83)

так как тело движется без проскальзывания и точка является мгновенным центром скоростей

(84)

Нерастяжимая нить обеспечивает равенство тангенциальных ускорений точек и

(85)

Принимая во внимание равенства с учетом (83), (84), (85), из уравнений (80), (81), (82) находим

Замечание. Сила трения , препятствующая скольжению тела по плоскости, направлена в сторону противоположную той, которая принята при расчете.

Литература:

1. С.М. Тарг. Краткий курс теоретической механики, Москва, ВШ, 1998 г., 416с.

2. И.В. Мещерский. Сборник задач по теоретической механике, Москва, Наука, 1987 г., 448 с.

3. А.А. Яблонский. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике, Москва, 1985 г., 367 с.

Поиск по сайту: