Цель работы:проверить основной закон динамики вращательного движения при постоянном моменте инерции, проверить свойство аддитивности момента инерции.
Приборы и принадлежности:маятник Обербека, счетчик-секундомер, набор грузов, линейка, штангенциркуль, весы.
Краткая теория и методические указания.
При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси его угловое ускорение α определяется суммарным моментом M всех сил, действующих на тело, относительно оси и моментом инерции I тела относительно этой же оси:
.
Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении; он зависит от массы тела и распределения ее относительно оси вращения:
.
Если момент инерции I тела остается постоянным, то выполняется соотношение:
. (1)
Это равенство мы и должны проверить в данной работе. Следующей задачей является экспериментальное определение момента инерции маятника Обербека и проверка свойства аддитивности. (Величина является аддитивной, если ее значение для всего тела равно сумме значений для всех частей этого тела. К подобным величинам относятся, например, масса, объем, энергия.)
Маятник Обербека представляет собой крестовину, образованную четырьмя одинаковыми стержнями, ввинченными в муфту. На концах стержней можно закреплять грузы массой m0 каждый. Муфта жестко соединена с осью, которая может свободно вращаться в подшипниках. Кроме муфты на оси расположен блок с намотанной на него тонкой нитью, к свободному концу которой прикрепляется груз массой mi.
Если отпустить груз, он начнет опускаться и приведет во вращение маятник. Угловое ускорение α маятника связано с тангенциальным ускорением aτ точки, расположенной на поверхности блока, соотношением . Опускаясь равноускоренно, груз за время t проходит расстояние , где a = aτ. Таким образом, угловое ускорение маятника можно рассчитать по формуле . (2)
Пренебрегая трением в подшипниках и сопротивлением воздуха, можно представить момент сил M, действующих на маятник относительно его оси, как произведение силы натяжения нити T на плечо этой силы, равное радиусу r блока:
.
Для груза, висящего на конце нити, следует воспользоваться вторым законом Ньютона в проекции на вертикальную ось:
,
откуда
.
Момент сил равен:
. (3)
Момент инерции маятника можно найти по формуле:
(4)
Проводя измерения с различными грузами m1 и m2, будем получать разные значения времени t1 и t2, угловых ускорений α1 и α2 и моментов сил M1 и M2, но соотношение (1) должно выполняться:
;
или, после упрощений,
. (5)
В полученное выражение входят экспериментально определяемые величины и выполнение этого равенства (с учетом погрешностей) эквивалентно выполнению равенства (1).
Предположим, что необходимо сравнить два числа a и b, каждое из которых определено с некоторой погрешностью: . На числовой оси эти числа расположены внутри соответствующих интервалов:
Если эти интервалы не перекрываются (1), то равенство между числами нельзя считать выполнимым; а если перекрываются (2), то можно. Из приведенных рисунков видно, что перекрытие будет иметь место в том случае, если выполняется неравенство:
< .
Таким образом, в качестве критерия того, равны или не равны обе части равенства (5), примем выполнение неравенства:
. (6)
Если оно выполняется, то можно говорить о справедливости равенства (1) с учетом погрешностей измерений.
Для расчета абсолютных погрешностей, входящих в правую часть неравенства, воспользуемся тем. что , где E – относительная погрешность величины a. Следовательно:
. (6)
Относительная погрешность E может быть рассчитана по формуле:
. (7)
Для проверки свойства аддитивности следует измерить момент инерции I маятника без грузов на концах стержней, а затем, закрепив на стержнях грузы, снова измерить момент инерции I0маятника. Считая дополнительные грузы материальными точками массой m0, расположенными на расстоянии l от оси, можно ожидать, что значение I0 будет больше значения I на величину 4m0l2:
. (8)
Выполнение этого равенства и будет свидетельствовать об аддитивности момента инерции. Естественно, что речь идет о приближенном равенстве. Расчет погрешностей в данном случае (в виде исключения) необязателен.
Регистрация времени t движения груза, за которое он опускается на высоту h, производится счетчиком-секундомером. Отсчет времени начинается автоматически в момент прохождения груза мимо верхнего фотодатчика и заканчивается при прохождении мимо нижнего фотодатчика, расстояние между которыми равно h.