Економічний зміст означеного інтеграла

ОЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

1. Означення означеного інтеграла

2. Геометричний та економічний зміст

3. Властивості означеного інтеграла

4. Формула Ньютона-Лейбніца

5. Заміна змінної у означеному інтегралі

6. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Означення означеного інтеграла

Нехай на відрізку [a; b] задано неперервну функцію y = f(x). Виконаємо наступні дії.

1. Розіб’ємо довільно відрізок [a; b] на n частин точками х₀ = a, x₁, x₂, …, x_n = b. Відрізки [x_o; x₁], [x₁; x₂], …, [x_n-1; x_n]розбиття мають довжини

2. На кожному з відрізків довільно виберемо точку с_і та обчислимо значення функції в цій точці f(c_і).

3. Для кожного з відрізків визначимо добуток f(c_і) де і = 1, 2, ..., n.

4. Знайдемо суму всіх таких добутків , яку будемо називати інтегральною сумоюфункції f(x) на відрізку [a; b].

5. Обчислимо границю інтегральної суми за умови, що а n→ ∞, тобто .

Означення 1. Означеним інтеграломфункції f(x) на відрізку [a; b] називається границя її інтегральної суми при якщо вона існує, не залежить від способу розбиття [a; b] на окремівідрізки й від способу вибору точок с_і на кожному з них. Записують:

При цьому f(x) називається підінтегральною функцією; – підінтегральним виразом; х – змінною інтегрування; а – нижньою межею інтегрування; b – верхньою межею інтегрування.

Як і будь-яка границя, означений інтеграл – це число, на відміну від неозначеного інтеграла, який є функцією.

Означення 2.Нехай функція у = f(x) ≥0 неперервна на відрізку [a; b]. Фігура, обмежена зверху графіком функції у = f(x), знизу – віссю Ох,збоку – прямими х = а і х = b, називається криволінійною трапецією (Рис.2.1).

Геометричний зміст означеного інтеграла: означений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції.

Економічний зміст означеного інтеграла

Нехай функція y = f(t) описує зміну продуктивності деякого виробництва з часом. Знайдемо обсяг продукції F, виготовленої за проміжок часу [0; T].

Зазначимо, що, якщо продуктивність праці не змінюється з часом (тобто f(t) – постійна функція), то обсяг продукції ΔF, виготовленої за певний проміжок часу [t; t+Δt], задається формулою ΔF = f(t)Δt.

У загальному випадку справедлива наближена рівність: ΔF = f(ξ)Δt,

де , яка є тим точнішою, чим менше значення Δt.

Розіб’ємо відрізок [0; T] на проміжки часу точками . Для обсягу продукції ΔF_i, виготовленої за проміжок часу [t_i-1; t_i], маємо: , де

Тоді , звідки

Отже, якщо f(t) – продуктивність праці в момент часу t, то

– обсяг продукції, що випускається, за проміжок [0; T];

– обсяг продукції, що випускається, за проміжок [t₁; t₂].

Поиск по сайту: