Інтегрування частинами. Нехай u=u(x) і v=v(x) – диференційовані функції

Нехай u=u(x) і v=v(x) – диференційовані функції. Розглянемо диференціал їхнього добутку: d(uv)=udv+vdu. Інтегруючи рівність, маємо: , звідки . Ця формула називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. При її застосуванні підінтегральний вираз даного інтегралу розбивається на два множники: и і dv. Щоб перейти до правої частини, треба обчислити диференціал и ( ) й інтеграл від dv ( ). При обчисленні v досить знайти одну будь-яку первісну, наприклад, ту, для якої С=0.

Наведемо деякі типи інтегралів, які рекомендується обчислювати методом інтегрування частинами:

1. Інтеграли виду: P(x)·e^kxdx, P(x)·sinkxdx, P(x)·coskxdx, де P(x) – многочлен, k – число. Зручно позначати через u=P(x).

2. Інтеграли виду:

P(x)·arcsinxdx u=arcsinx

P(x)·arccosxdx u=arccosx

P(x)·arctgxdx u=arctgx

P(x)·arcctgxdx u=arcctgx

P(x)·lnxdx u=lnx

3. Інтеграли виду: e^αx sinβxdx і e^αx cosβxdx, де α і β – числа. Можна позначати через u=e^αx або u=sinβx (u=cosβx).

Приклад 1. Обчислити інтеграли: а) , б) ,

в) .

Розв’язання. а) Даний інтеграл належить до першого типу інтегралів, тому через и позначимо многочлен: и=х+2, тоді dv=е^-хdх. Обчислимо: du=(х+2)'dх=dх, тоді . Отже,

= =(х+2)·(–е^-х)– =

= –(х+2) =–(х+2) –е^-х+С=(-х-3)е^-х+С.

б) = =

Даний інтеграл належить до другого типу інтегралів, тому ми обрали таке ділення на частини. Легко перевірити, що інший розподіл не облегшить обчислення інтегралу.

в) = =

=

(Ми бачимо, що одержаний інтеграл не є табличним, але декілька спростився. Щоб його обчислити, ще раз застосуємо формулу інтегрування частинами.)

.

Приклад 2. Обчислити інтеграли: а) , б) .

Розв’язання. =

.

б) Застосуємо комбінацію методів інтегрування. Спочатку виконаємо заміну змінної, а потім скористаємося формулою інтегрування частинами:

= = =

.

Питання для контролю

1. Яка функція називається первісною для функції f(x)?

2. Чим відрізняються одна від одної первісні функції для функції f(x)? Доведіть це.

3. Яка дія називається інтегруванням?

4. Якщо f(x)= , то як виразити сукупність первісних функцій для функції f(x)?

5. Як прочитати запис ? Як називаються його складові?

6. Що називається невизначеним інтегралом?

7. Як перевірити, чи правильно виконано інтегрування?

8. Який геометричний образ відповідає невизначеному інтегралу ?

9. Сформулюйте властивості невизначених інтегралів.

10. У сукупності знайдіть криву, що проходить через точку .

11. Обчисліть двома способами:

а) безпосередньо як інтеграл від степеневої функції із складним аргументом;

б) розкрийте дужки та проінтегруйте отриману суму.

Покажіть, що отримані результати не суперечать один одному.

12. Виведіть формулу інтегрування частинами для невизначеного інтеграла. Укажіть типи інтегралів, обчислення яких необхідно проводити за допомогою метода інтегрування частинами.

13. Застосуйте метод інтегрування частинами до , де х>1, припускаючи, що , та потім порівняйте отриману відповідь з відповіддю, отриманою в результаті застосування до даного інтеграла підстановки .

Поиск по сайту: