Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Поняття невизначеного інтеграла

Означення. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx — диференціал функції F (x):

Тоді функція F (x) називається первісною для функції f (x).

Якщо F (x) — одна з первісних функції f (x), то будь-яка інша її первісна подається виразом F (x) + С, де С — довільна стала.

Отже, якщо функція f (x) має принаймні одну первісну, то їх існує безліч.

Означення. Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом.

Невизначений інтеграл виразу f (x)dx позначають

(1)

Термін «інтеграл» походить від латинського слова integralis — цілісний.

Символ — початкова літера слова summa (сума).

Слово «невизначений» підкреслює, що до загального виразу первісної входить сталий доданок, який можна взяти довільно.

Вираз називають підінтегральним виразом, функцію f (x) — підінтегральною функцією, змінну xзмінною інтегрування.

Постають такі запитання: 1) чи завжди можна знайти невизначений інтеграл; 2) як можна знайти цей інтеграл, якщо він існує?

Відповідь на перше запитання частково дає наведена далі теорема, яка є основною теоремою інтегрального числення.

Теорема 2.1. Усяка неперервна функція має первісну.

Проте ця теорема не стверджує, що первісну даної непе-
рервної функції можна знайти за допомогою скінченної кількості відомих дій і подати результат в елементарних функ-
ціях. Більш того, існують неперервні елементарні функції,
інтеграли від яких не є елементарними функціями. Такі функції називають неінтегровними. Їх інтеграли не можуть бу-
ти знайдені за допомогою скінченної кількості елементарних функцій.

Наприклад, можна довести, що інтеграли не подаються елементарними функціями, тобто відповідні підінтегральні функції є неінтегровними.

Зауважимо, що за правилами диференціального числення для будь-якої елементарної функції можна знайти її похідну (також елементарну). В інтегральному численні такі правила для відшукання первісної принципово неможливі.

Первісні для неінтегровних функцій, таких як і т. ін., знаходять наближеними (чисельними) методами.

Загалом знаходження невизначених інтегралів — задача, істотно складніша порівняно з диференціюванням. Її розв’язування спрощується завдяки застосуванню математичних довідників і комп’ютерних пакетів програм, наприклад Mathсad, Mathematica 3.0 тощо.

48. Основні властивості
невизначеного інтеграла

Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:

● Продиференціювавши рівність (1) дістанемо:

Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:

(2)

●Рівність (2) випливає з (1), якщо взяти

Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(3)

●Справді, згідно з властивістю 1 диференціал лівої частини

(4)

подається так само, як і диференціал правої частини:

(5)

Якщо диференціали (4) і (5) обох частин рівності (3) однакові, то ці частини відрізняються лише сталою, яка вважається включеною в позначення невизначеного інтеграла.

Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків:

Формула доводиться безпосередньою перевіркою диференціюванням. Справді, диференціал лівої частини подається так:

49. Найпростіші інтеграли.
Таблиця основних інтегралів

За формулами, якими подаються диференціали функцій, легко дістати відповідні формули інтегрування.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

50. Метод заміни змінної
у невизначеному інтегралі

Нехай F'(x) = f(x). Тоді .

Згідно з інваріантністю форми першого диференціала рівність справджується і тоді, коли x — проміжний аргумент, тобто

Це означає, що формула виконується й при . Таким чином, або

Отже, справджується теорема.

Теорема 2.2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку , а — диференційовна на проміжку функція, значення якої належать , то

— первісна для , , і

(6)

Формула (6) називається формулою заміни змінної під знаком невизначеного інтеграла.

Метод заміни змінної дозволяє зводити інтеграли до табличних або до інтегралів, методи знаходження яких відомі. Після обчислення інтеграла потрібно знову замінити x на

Робоча формула

(7)

Зауваження.Вивчення методів інтегрування певних функцій загалом можна звести до з’ясування того, яку заміну змінної в підінтегральному виразі потрібно зробити. Успіх інтегрування залежить значною мірою від того, наскільки вдало виконано заміну змінних, яка спрощує даний інтеграл.

Знайти

·

Наслідок.Якщо то

(8)

 

Знайти

51. Інтегрування раціональних дробів.
Стандартний підхід

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.