Поверхностные интегралы

def 1: Поверхность Φ называется полной, если фундаментальная последователь-ность точек из данной поверхности Φ сходится к точке принадлежащей Ф.

def 2: Поверхность Φ называется ограниченной, если существует шар, содержащий все точки данной поверхности.

Пусть задана поверхность Φ удовлетворяющая условиям:

1. гладкая;

2. без особых точек;

3. двух сторонняя;

4. полная;

5. ограниченная.

и удовлетворяющая уравнению: x=x(u;v)

y=y(u;v) (1)

z=z(u;v)

или (1')

На поверхности Ф определены и непрерывны 4 функции: f(x;y;z), P(x;y;z), Q(x;y;z), . Гладкими или кусочно гладкими кривыми разбиваем Ф на частичные поверхности . Рассмотрим точку . Через обозначим площадь .

, где (2)

Формула (2) верна и для всей площади Ф.

Составим суммы:

cos x, cos y, cos z компоненты единичного вектора нормали. вектор нормали

def 3: Число называется пределом интегральных сумм при А→0, если для что для разбиения Ф на Ф_i , диаметр разбиения которого и для набора точек выполняется неравенство

def 4: Если существует конечный предел суммы то говорят что функция f(x,y,z) интегрируема по поверхности Ф, а число называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) и обозначается где дифференциал поверхности.

def 5: Если существует конечный предел суммы , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функций P,Q,R соответственно и обозначается:

Если возьмем сумму , то получи общий поверхностный интеграл второго рода:

Если Ф кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность x=x(u;v), y=y(u;v), z=z(u;v) и f(x,y,z) функция определена и непрерывна в точках поверхности Ф, то

, где (3)

В частном случае, если поверхность Ф имеет вид z=z(x;y) однозначная, непрерывно дифференцируемая функция, то

Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности Ф.

Если S гладкая двухсторонняя поверхность, S⁺ ее сторона, характеризуемая направлением нормали три функции, определенные и непрерывные на поверхности S, то

(4)

При переходе к другой стороне S^– поверхности S интеграл (4) меняет свой знак на противоположный.

Моментом инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами:

Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам:

Пример 1.

Вычислить , где S часть конической поверхности , заключенной между плоскостями z=0, z=1.

Решение:

Имеем

.

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:

Областью интегрирования D является круг

Пример 2.

Вычислить , где T внешняя сторона части эллипсоида , расположенной в первом октанте.

Решение:

Расчленяем данный поверхностный интеграл на 3 слагаемых интеграла: и пользуясь уравнением поверхности Ф, и формулой

I₁=

I₂=

I₃=

I₁=

I₃=

Пример 3.

Найти момент инерции полусферы относительно оси Oz

Решение:

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость xOy, т.е. круг , а поэтому, переходя к полярным координатам, получим:

Замечание: внутри интеграл вычисляется с помощью подстановки .

Пример 4.

Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z=x, огран. плоскостями x+y=1, y=0, x=0.

Решение:

Найдем площадь S указанной части плоскости

Задания:

I.Вычислить поверхностный интеграл первого рода:

1.

2.

3.

4.

5. лежащая внутри цилиндра

6. лежащая внутри цилиндра

7. , лежащая между конусом и параболоидом

8. лежащая между плоскостями

9. , лежащая вне гиперболоида

10. лежащая внутри цилиндра

II.Вычислить поверхностный интеграл второго рода:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

III.Найти:

1. Координаты центра масс однородной полусферы .

2. Момент инерции однородного сегмента сферы плотности ρ относительно Oz.

3. Координаты центра масс части однородной сферы .

4. Момент инерции однородного параболоида плотности ρ относительно Oz.

5. Момент инерции относительно плоскости xy части однородного конуса массой M.

6. Координаты центра масс верхней полусферы , если поверхностная плотность каждой ее точки равна расстоянию от этой точки до оси Oz/

7. Момент инерции однородной поверхности плотности ρ относительно Oz.

8. Координаты центра масс части однородной поверхности .

9. Момент инерции части однородной верхней полусферы плотности ρ, лежащей внутри цилиндра относительно плоскости.

10. Координаты центра масс части однородного конуса .

Ответы:

I.	1. 2. 3. 4. 5.	6. 7. 8. 9. 10.
II.	1. 2. 324   3. 88 4. 5.	6. 7. 8. 9. 10.
III.	1. 2. 3. 4. 5.	6. 7. 8. 9. 10.

Литература

1. Зорич В.А. Математический анализ. т.2–М: Наука, 1984, стр. 113-165

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. т.2–М: Высшая школа, 1989, стр. 286-490

3. Никольский С.М. Курс математического анализа. т.2–М: Наука, 1991, стр. 7-85

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М: Наука, 1990, стр. 406-471

5. Данко П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. М: Высшая школа, 1986, стр. 6-66

6. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. т.2 Минск: Высшая школа, 1988, стр. 42-122

7. Миронский В.П. Сборник задач по высшей математике. стр. 233-248

8. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука, 1985, стр. 213-247

Поиск по сайту: