Дослідити згасаючі коливання фізичного маятника і за виміряним числом повних коливань Nt і часу релаксації t обчислити:
· сталу згасання g,
· коефіцієнт опору r,
· логарифмічний декремент згасання l ,
· добротність коливальної системи Q,
оцінити коефіцієнт тертя кочення.
Теоретичні відомості:
Фізичний маятник ¾ макроскопічне тіло, що здійснює малі періодичні коливання. Вісь обертання маятника О зміщена відносно центра мас тіла Oc на вектор . Коливання визначаються кутом j відхилення тіла від положення рівноваги. Ці коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту зовнішніх сил , моменту сили тяжіння та моменту сил опору , де ¾ коефіцієнт опору. Величину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді: Мg = mgLsinj. Для малих коливань маятника маємо sinj » j і Мg = mgLj.
Використовуючи другий закон Ньютона для обертового руху, рівняння коливань можна записати так:
, (1.41)
де J ¾ момент інерції тіла. Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши за додатній напрямок кутового прискорення, векторне рівняння можна записати в алгебраїчній формі:
. (2.41)
В канонічному вигляді рівняння (2.41) можна записати так
, (3.41)
де ¾ коефіцієнт згасання коливань, , w0 ¾ частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника T0 = 2p/w0 і T0 = 2p , де lпр = ¾ приведена довжина фізичного маятника. Для прикладу розглянемо вільні згасаючі коливання фізичного маятника. Рівняння згасаючих коливань є однорідним диференціальним рівнянням, яке враховує сили опору (3.41)
Квадратне рівняння l2 + 2gl + w02 = 0 в (5.41) називається характеристичним. Його розв'язок
, (6.41)
дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння
j1 = exp(l1t), j2 = exp(l2t), (7.41)
з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного рівняння (3.41) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків
j = Аexp(l1t) + Bexp(l2t) (8.41)
з дійсними коефіцієнтами А, В.
Якісно розрізняють два випадки руху маятника:
1) При g > w0 ¾ аперіодичний рух. При цьому l1,l2 < 0 ¾ дійсні числа. Функція j є спадною функцією часу (l1,l2<0) і описує асимптотичне, в експоненційній залежності від часу, повернення маятника в стан рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється.
2) Якщо g < w0, маятник буде здійснювати коливальний рух. При цьому
l1 = - g+іw, l2 = - g-іw, (9.41)
де і = ¾ уявна одиниця, w = ¾ частота вільних згасаючих коливань. Загальний розв'язок буде мати вигляд:
j = e-gt(Aeiwt+ Be-iwt) (10.41)
з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В зауважимо, що функція j є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати своїй комплексно спряженій функції j = j* Þ