Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Практичне застосування визначеного інтеграла в економіці

Застосування інтеграла у фізиці та економіці.

План.

 

1. Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості.

2. Обчислення роботи змінної сили.

3. Обчислення маси неоднорідного стержня.

4. Обчислення кількості електрики.

5. Застосування інтеграла в економіці і техніці.

 

Рекомендована література.

 

Алгебра і початки аналізу: Підруч.для 10-11 кл.загальноосвіт.навч. закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С.Дубинчук – К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-608с.

Розділ 9.§ 4, п.4.

 

 

Дайте письмові відповіді на запитання.

Запишіть формули:

1. Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості.

2. Обчислення роботи змінної сили.

3. Обчислення маси неоднорідного стержня.

4. Обчислення кількості електрики.

5. Застосування інтеграла в економіці і техніці.

 

 

№ пп Величини Співвідношення Знаходження похідної Знаходження інтеграла
  S – переміщення v -- швидкість
  A - робота F - сила
  A - робота N - потужність
  m– маса тонкого стержня - лінійна густина
  q– електричний заряд I – сила струму
  Q – кількість теплоти c- теплоємність

 

Задача 1

При якій висоті рідини в циліндричній посудині радіусом сила тиску на дно посудини та на бічну стінку будуть однаковими?

Розв’язання

Тиск рідини на стінки посудини Р= ρgһ, відповідно, сила тиску дорівнює . Тиск на бічну стінку залежить від глибини у: Р(y) = ρgy. Розіб’ємо подумки бічну стінку на кільцеві смужки висотою dy, тоді сила тиску смужки на глибині dF(y)= ρgy2πrdy. Повна сила знаходиться інтегруванням по всім кільцям:

F2 = dF(y) = ρg2πr ydy = πρgrһ2 .

З умови F1 = F2 отримуємо = r.

Задача 2

До стелі ліфта, що вільно падає, прикріплено пружину з важком. Важок не коливається. Знайти максимальне значення сили пружності при миттєвій зупинці ліфта, якщо безпосередньо перед зупинкою ліфта сума потенціальної енергії важка дорівнювала 40 Дж. Коефіцієнт жорсткості пружини 500 Н/м. Тертям та масою пружини знехтувати. Потенціальну енергію сили пружності і сили тяжіння відраховувати від положення максимального розтягу пружини.

Розв’язання

Згідно формули для роботи рівнодійної сили Еk - Еk0 = Аmg – Апружн

Так, як Аmg = mgxmaxп0, тобто, початковій потенціальній енергії важка, а

Апружн = = = .

Тоді маємо k0 = Еп0 - ,

тобто повна енергія

Еповн = Еk0 + Еп0 = . звідки

Fпружн = 200 Н

Задача 3

Температура маси m ідеального газу з молярною масою М змінюється за законом Т = αV2, де α – відома стала. Яку роботу виконує газ при збільшенні його об’єму від V1 до V2? Чому дорівнює зміна внутрішньої енергії газу в цьому процесі? Отримує чи віддає газ тепло в цьому процесі?

Розв’язання

Скористаємось рівнянням стану ідеального газу:

Роботу можна знайти методом інтегрування:

Для визначення внутрішньої енергії скористаємось формулою

,

Отже,

Згідно першого закону термодинаміки , теплота, надана тілу в цьому процесі, дорівнює д

> 0,

отже газ отримує теплоту.

 

Задача 4

Над ν = 2 молями ідеального газу здійснюється цикл 1234(див рис),


Який складається із двох ізобар(12, при тиску Р1=100 кПа, та 34, при тиску Р3=272 кПа) та двох ізотерм (23, при температурі Т2= 700 К, та 41, при температурі Т1= 300 К).Знайти теплоту, яку газ поглинає за цикл.

 

Розв’язання

Згідно першого закону термодинаміки, Q = ∆U +А. В коловому процесі зміна внутрішньої енергії дорівнює нулю, отже Q = А. на ізобарах 12 і 34 робота дорівнює

А12 = Р1 (V2 - V1), А34 = Р3 (V4 - V3),

або враховуючи рівняння стану в точках 1234

Р1V1 = Р3V4 = νRT1,

Р1V2 = Р3 V3 = νRT2

отримуємо А12 + А34 = 0

Аналогічно,

,

Отже,

< 0

Підстановка даних із умови задачі дає Q = -3,32 кДж, теплота віддається, а не поглинається, тобто , в цьому циклі теплова машина працює як холодильник.

 

Задача 5

Заряджений конденсатор ємності С замкнений на котушку індуктивності L. Знайти таку залежність від часу ємності конденсатора, при якій струм у колі збільшується прямо пропорційно часу. Електричним опором кола знехтувати.

Розв’язання

За законом Фарадея, , так як за умовою задачі струму колі збільшується прямо пропорційно часу: . отже, і напруга на конденсаторі, що дорівнює напрузі на котушці в будь – який момент часу, теж залишається сталою:

,

де - початковий заряд на конденсаторі, - заряд, який стік із обкладок конденсатора за час t , а C - ємність конденсатора в момент t. З рівності знаходимо струм:

Тоді повний заряд, що стікає з конденсатора за час дорівнює

Підставивши цей вираз для заряду у формулу, отримуємо

Зауважимо, що ця відповідність буде правильною за умови, що q < q0.

Задача 6

Дві частинки, які мають масу 5 мг, 2 мг і заряди, що дорівнюють +12 нКл та + 7 нКл, рухаються назустріч одна одній, маючи вдалині відносну швидкість 18 км/год. На яку найменшу відстань зблизяться частинки?

Розв’язання

Задачу можна розв’язати трьома способами, враховуючи вибір системи відліку:

1) (ІСВ) – інерціальна система відліку(пов’язана з Землею);

2) система відліку, яка зв’язана з центром інерції системи двох частинок;

3) НІСВ – неінерціальна система відліку, тобто одна частинка нерухома, а інша рухається назустріч першій з відносною швидкістю (vвідн)

Розглянемо третій спосіб. Виберемо систему, яка рухається поступово разом з однією із заряджених частинок, наприклад, з першою. Ця система – неінерціальна. У ній перша частинка нерухома, а друга рухається назустріч першій з початковою швидкістю (vвідн). Система вважається незамкненою, оскільки на неї діють сили інерції, які потрібно вважати зовнішніми відносно системи.

Але ми знаємо, що зміна енергії системи дорівнює роботі (А) сили інерції (Fін), що діє на частинку (m2) під час її наближення до частинки (m1).

, де W2 – кінцева енергія, при r = rmin, яка дорівнює потенціальній енергії кулонівської взаємодії, тобто

;

,

Оскільки в момент найбільшого зближення друга частинка має нульову швидкість. W1-початкова енергія системи частинок, яка дорівнює кінетичній енергії другої частинки

А – робота сили інерції, визначається за допомогою інтеграла

Врахувавши, що , де F – кулонівська сила.

Знаючи , тоді

, вважаючи .

Прирівняємо роботу зі зміною енергії:

Частинка зблизиться на мінімальну відстань 4 см.

 

Задача 7

Магнітне поле створюється провідником зі струмом, сила якого 50 А.У полі розміщена рамка. Так що дві великі сторони довжиною 65 см паралельні провіднику, а відстань від провідника до найближчої сторони рівна її ширині. Який магнітний потік пронизує рамку?

 

Розв’язання

Магнітна індукція поля провідника визначається:

, де r – відстань до провідника.

Магнітний потік що пронизує рамку визначається за законом:

, де , а B- зменшується з віддаленням від провідника. Розіб’ємо площу рамки на окремі ділянки, елементарна площа яких . Для визначення магнітного потоку звернемось до процесу інтегрування:

;

Підрахунки дають значення 4,5 мкВб.

 

Практичне застосування визначеного інтеграла в економіці

Зупинимося на декількох прикладах використання інтегрального числення в економіці. Почнемо із широко використовуваного в ринковій економіці поняття споживчого надлишку. Для цього введемо кілька економічних понять і позначень.

Попит на даний товар - сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й обсягом його покупки. Попит на окремий товар графічно зображується у вигляді кривої з негативним нахилом, що відбиває взаємозв'язок між ціною P одиниці цього товару й кількістю товару Q, що споживачі готові купити при кожній заданій ціні. Негативний нахил кривої попиту має очевидне пояснення: чим дорожче товар, тим менше кількість товару, що покупці готові купити, і навпаки.

Аналогічно визначається й інше ключове поняття економічної теорії - пропозиція товару: сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й кількістю товару, пропонованого до продажу. Пропозиція окремого товару зображується графічно у вигляді кривої з позитивним нахилом, що відбиває взаємозв'язок між ціною одиниці цього товару P і кількістю товару Q, що споживачі готові продати при кожній ціні.

Відзначимо, що економісти вважають зручним зображувати аргумент (ціну) по осі ординат, а залежна змінну (кількість товару) по осі абсцис. Тому графіки функцій попиту та пропозиції виглядають у такий спосіб (рис 1).

І, нарешті, уведемо ще одне поняття, що грає більшу роль у моделюванні економічних процесів - ринкова рівновага. Стан рівноваги характеризують такі ціна й кількість, при яких обсяг попиту збігається з величиною пропозиції, а графічно ринкова рівновага зображується точкою перетинання кривих попиту та пропозиції (рис 2), E*(p*; q*) - точка рівноваги.

 

Надалі для зручності аналізу ми будемо розглядати не залежність Q = f(P), а зворотні функції попиту та пропозиції, що характеризують залежність P = f(Q), тоді аргумент і значення функції графічно будуть зображуватися звичним для нас образом.

Перейдемо тепер до розгляду додатків інтегрального аналізу для визначення споживчого надлишку. Для цього зобразимо на графіку зворотну функцію попиту P = f(Q). Допустимо, що ринкова рівновага встановилася в точці E*(q*; p*) (крива пропозиції на графіку відсутній для зручності подальшого аналізу, малюнок 3).

 

Якщо покупець здобуває товар у кількості Q* за рівноважною ціною P*, то очевидно, що загальні витрати на покупку такого товару складуть P*Q*, що дорівнює площі заштрихованої фігури A (малюнок 4).

 

 

Але припустимо тепер, що товар у кількості Q* продається продавцями не відразу, а надходить на ринок невеликими партіями Q. Саме таке допущення разом із припущенням про безперервність функції попиту та пропозиції є основним при висновку формули для розрахунку споживчого надлишку. Відзначимо, що дане допущення цілком виправдане, тому що така схема реалізації товару досить поширена на практиці й випливає з мети продавця підтримувати ціну на товар якнайвище.

Тоді одержимо, що спочатку пропонується товар у кількості Q1=Q (малюнок 5), що продається за ціною P1 = f(Q1). Тому що по припущенню величина Q мала, то можна вважати, що вся перша партія товару реалізується за ціною P1, при цьому витрати покупця на покупку такої кількості товару складуть P1 Q, що відповідає площі заштрихованого прямокутника S1 (малюнок 5).

 

Далі на ринок надходить друга партія товару в тім же кількості, що продається за ціною P2 = f(Q2), де Q2 = Q1+Q

- загальна кількість реалізованої продукції, а витрати покупця на покупку другої партії складуть P2Q, що відповідає площі прямокутника S2.

Продовжимо процес доти, поки не дійдемо до рівноважної кількості товару Q* = Qn. Тоді стає ясно, якою повинна бути величина Q для того, щоб процес продажу товару закінчився в крапці Q*:

 

 

У результаті одержимо, що ціна n-й партії товару Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а витрати споживачів на покупку цієї останньої партії товару складуть PnQ, або площа прямокутника Sn.

Таким чином, ми одержимо, що сумарні витрати споживачів при покупці товару дрібними партіями Q рівні

 

Q

 

Тому що величина Q дуже мала, а функція f(Q) безперервна, тих містимо, що приблизно дорівнює площі фігури B (малюнок 6), що, як відомо, при малих збільшеннях аргументу Q дорівнює певному інтегралу від зворотної функції попиту при зміні аргументу від 0 до Q*, тобто в підсумку одержимо, що

 

 

 

Згадавши, що кожна точка на кривій попиту Pі = f(Qі) (і = 1, 2, ..., k) показує, яку суму споживач готовий заплатити за покупку додаткової одиниці продукту, одержимо, що площа фігури B відповідає загальній грошовій сумі, що споживач готовий витратити на покупку Q* одиниць товару. Різниця між площею фігури B і площею прямокутника A є споживчий надлишок при покупці даного товару - перевищення загальної вартості, що споживач готовий сплатити за всі одиниці товару, над його реальними витратами на їхнє придбання [4] (площа заштрихованої фігури на малюнку 7).

 

Таким чином, споживчий надлишок можна порахувати по наступній формулі

 

 

Далі розглянемо кілька завдань на визначення надлишку споживача.

Завдання 1. Відомо, що попит на деякий товар задається функцією p = 4 - q2, де q - кількість товару (у шт.), p - ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даного товару досягається при p* = q* = 1. Визначите споживчого надлишку

 

Рішення.

 

 

Завдання 2. Відомо, що попит на деякий товар описується функцією

 

 

а пропозиція даного товару характеризується функцією q = 500 грн. Знайдіть величину надлишку споживача при покупці даного товару.

Рішення. Для розрахунку надлишку споживача спочатку визначимо параметри ринкової рівноваги (p*; q*). Для цього вирішимо систему рівнянь

Таким чином, p* = 2, q* = 1000.

Запишемо формулу для обчислення споживчого надлишку (1), де f(q) - функція, зворотна функції

Звідси

 

 

Завдання 3. Відомо, що попит на деякий товар задається функцією

пропозиція – функцією p = q + 11.

Визначте величину виграшу споживача при покупці даного товару.

Рішення. Виграш споживача є не що інше, як споживчий надлишок. Для того, щоб знайти його, визначимо спочатку рівноважні значення кількості товару і його ціни, вирішивши для цього систему

Вирішимо перше рівняння системи.

(q + 1)(q + 11) = 231,

q2 + 12q – 220 = 0,

(q + 22)(q – 10) = 0.

Одержимо q*=10. Отже, p* = 10 + 11 = 21.

Тоді

Подібно надлишку споживача визначається й надлишок виробника. Не вдаючись у деталі, відзначимо, що надлишок виробника являє собою різницю між тією грошовою сумою, за якої він був би готовий продати Q* одиниць товару, і тією сумою, що він реально одержує при продажі цієї кількості товару [3].

Графічно він може бути представлений площею фігури, обмеженої кривої пропозиції, віссю цін і прямій, паралельній осі абсцис, що проходить через крапку ринкової рівноваги (малюнок 8).

 

Очевидно, що

 

(2)

 

Розглянемо, як отримана формула може бути застосована при рішенні завдань.

Завдання 4. Відомо, що крива пропозиції деякого товару має вигляд p = 4q3 + 2, а рівновага на ринку даного товару досягається при обсязі продажів Q* = 3. Визначите додаткову вигоду виробника при продажі такої кількості продукції.

Рішення. Спочатку з функції пропозиції знайдемо рівноважне значення ціни

 

P* = f(q*) = f(3) = 4*33 + 2 = 110.

 

Підставимо отримане значення у формулу (2)

 

Ми розглянули, як визначаються надлишки споживача й виробника. Відзначимо, що сума цих двох надлишків - площа заштрихованої фігури на малюнку 9 - характеризує загальний ефект виробництва й споживання на розглянутому ринку.

 

 

Однак абсолютні значення PS й CS становлять невеликий інтерес для економістів. Економістів більше хвилює відповідь на питання, як і на скільки зміниться надлишок споживача в результаті проведення того або іншого заходу державної політики, що робить вплив на рівновагу на ринку, зокрема , при встановленні податків, введенні субсидій і т.п.

Допустимо, наприклад, що товар обкладає податком у розмірі t на одиницю товару (такий податок економісти називають потоварным податком), тоді його ціна збільшиться з P1 до P2.

P2 = P1 + t

Вплив даного податку на добробут споживача характеризує ситуація, представлена на малюнку 10.

 

Таким чином, одержуємо, що CS - зменшення добробуту споживача, оцінюване за допомогою споживчого надлишку, є різниця площ двох фігур, що відповідають CS1 й CS2, і за формою нагадує трапецію, площу якої, у свою чергу, дорівнює сумі площ фігур T1 й T2, тобто CS =ST1 +ST2 , ST1 де вимірює втрати надлишку споживача, викликані збільшенням ціни одиниці товару на розмір податку й дорівнює t2, а ST1 вимірює втрати добробуту споживача, пов'язані зі зменшенням кількості споживаного товару (Q2 < Q1), і дорівнює

 

 

 

Таким чином, для випадку введення по товарного податку в розмірі t маємо

У загальному ж випадку результат зміни споживчого надлишку внаслідок збільшення ціни на товар може бути записаний, наприклад, у наступному виді

Розглянемо приклад оцінки наслідків введення по товарного податку.

Задача 5. Дана крива попиту

.

Які грошові втрати споживача при введенні на даний товар податку з одиниці продажів у розмірі 1 грн., якщо відомо, що спочатку ринкова рівновага на даному ринку спостерігалося при ціні P* = 2 грн.?

Рішення. Дане завдання можна вирішувати різними способами. Проаналізуємо основні з них.

1-й спосіб заснований на використанні формули (3) для обчислення CS.

Для визначення споживчих втрат при збільшенні рівноважної ціни товару з 2 грн. до 3 грн. подивимося, як при цьому міняється обсяг продажів. Якщо P1=2, то Q1=16, при P2=3 Q2=14.

Отже,

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.