Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:
, (4)
где k = m w02.
Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):
EП. (5)
Складывая (4) и (5), с учетом соотношения , получим:
E = EK + EП = . (6)
Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.
Затухающие колебания.
Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.
Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.
Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:
. (7)
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
, (8)
где r- коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что Fтр и V имеют противоположные направления.
Подставим (8) в (7). Тогда или
Обозначим , где b — коэффициент затухания, w0 — круговая частота собственных колебаний. Тогда
(9)
Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: w2 = w02 -b2, где w — круговая частота затухающих колебаний. При условии w02 -b2 > 0, wявляется действительной величиной и решение (3) будет следующим:
(10)
График этой функции дан на рисунке.
Рис. 2. Затухающие колебания.
Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A0e-bt.
Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен:
(11)
При незначительном сопротивлении среды (b2 << w2) период практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период, выражаются так:
.
Отношение этих амплитуд равно:
.(12)
Это отношение называютдекрементом затухания.
В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма
этого отношения:
Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.
При сильном затухании b 2 > w02 из формулы (11) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.