Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

КОМП’ЮТЕРНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

„ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка ”

Для студентів спеціальностей ФТ-факультету

Комп’ютерний лабораторний практикум

Лабораторна робота 5

ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

Затверджено

редакційно-видавничою

радою університету,

протокол № ____ від ____

Харків НТУ “ХПІ” 2012

Методичні вказівки до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка” для студентів спеціальностей ФТ-факультету. Комп’ютерний лабораторний практикум. Лабораторна робота 5 «Дослідження динаміки механічної системи» // Укл. Д.В. Лавінський. – Харків: НТУ “ХПІ”, 2012. – с .

Укладач: Д.В. Лавінський

Рецензент В.М. Адашевський

Кафедра теоретичної механіки

Лабораторна робота 5

ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

Цілі, об’єкт, предмет та методи досліджень:

Ціль роботи є вивчення закономірностей динаміки руху механічної системи.

Об’єктом досліджень є механічна система.

Предметом досліджень є кінематичні характеристики (траєкторії, швидкості, прискорення, кутові швидкості та кутові прискорення) елементів системи, а також характерних точок системи, енергетичні характеристики руху (кінетична енергія, робота, потужність).

Методи досліджень містять: аналітичне та комп’ютерне моделювання

Теоретичний матеріал

Механічною системою називається сукупність твердих тіл та матеріальних точок, положення та рухи яких взаємопов’язані. Одним з найбільш ефективних засобів дослідження руху механічних систем є використання загальних теорем динаміки, за якими дослідження їхнього руху зводяться до інтегрування диференціальних рівнянь. Для аналітичного дослідження найбільш універсальними є теореми про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній й диференціальній формах. Перша теорема дозволяє визначити швидкості тіл, а друга – їх прискорення. Інтегрування диференціальних рівнянь руху систем тіл, що встановлюють за загальними теоремами динаміки, більш ефективно здійснити із застосуванням чисельних методів, для чого використовуються програмні засоби для ЕОМ.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній формі: Зміна кінетичної енергії системи за скінчений проміжок часу дорівнює сумі робіт усіх сил, які діють на елементи системи.

(1)

тут – кінетична енергія у початковий момент часу, – кінетична енергія у скінчений момент часу, – робота j-сили.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи у диференціальній формі: Зміна кінетичної енергії системи за нескінченно малий проміжок часу дорівнює сумі потужностей усіх сил, які діють на елементи системи.

(2)

тут – кінетична енергія системи, – потужність j-сили. Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій елементів механічної системи. Кінетична енергія матеріальної точки дорівнює:

(3)

тут – маса точки, – її швидкість. Кінетична енергія твердого тіла залежить від виду руху, який тверде тіло здійснює. При поступальному русі:

(4)

тут – маса тіла, – швидкість центру мас тіла. При обертальному русі:

(5)

тут – момент інерції тіла довкола осі обертання, – кутова швидкість тіла. При плоско-паралельному русі, відповідно до теореми Кьоніга:

(6)

Для обчислення моментів інерції тіл простої форми використовують наступні формули. Для стержня довжиною та масою момент інерції відносно його кінця:

; (7)

відносно центру мас:

(8)

Для циліндру (або диску) момент інерції відносно осі обертання дорівнює:

(9)

тут – маса циліндру (диску), – радіус циліндру (диску). Для складених тіл обертання зручно використовувати поняття про радіус інерції. У цьому випадку одержуємо:

(10)

тут – маса тіла, – радіус інерції.

Для підрахунку робіт сил, які діють на тверді тіла, можуть використовуватися різні способи, але якщо відомі точки прикладання сил, то зручно визначати роботи на переміщеннях точок прикладання сил. Так, наприклад, для сили ваги маємо наступну формулу:

, (11)

тут – маса тіла, – висота на яку підіймається або опускається центр ваги тіла.

Для сили тертя ковзання маємо:

, (12)

тут – коефіцієнт тертя ковзання, – нормальна реакція поверхні, – путь, яку проходить тіло.

Для сталого моменту опору (наприклад тертя кочення):

, (13)

тут – момент тертя кочення, – кут повороту тіла.

Для визначення потужностей сил можна застосовувати подібний підхід, тому маємо для сили ваги:

, (14)

тут – маса тіла, – проекція швидкості центру ваги на вертикальну вісь.

Для сили тертя ковзання маємо:

, (15)

тут – коефіцієнт тертя ковзання, – нормальна реакція поверхні, – швидкість.

Для сталого моменту опору (наприклад тертя кочення):

, (16)

тут – момент тертя кочення, – кутова швидкість тіла.

Використання теорем про зміну кінетичної енергії дозволяє знаходити швидкість та прискорення елементів механічної системи.

Питання для самоконтролю

1. Що називають механічною системою?

2. Наведіть формулювання теореми про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній формі?

3. Наведіть формулювання теореми про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній формі?

4. За якими формулами визначається кінетична енергія:

- точки;

- тіла, яке рухається поступально;

- тіла, яке рухається обертально;

- тіла, яке рухається плоско-паралельно?

5. За якими формулами визначається момент інерції стержня, циліндра?

6. За якими формулами визначаються роботи сил ваги, тертя ковзання?

7. За якими формулами визначаються потужності сил ваги, тертя ковзання?

8. За якими формулами визначається робота та потужність сталого моменту тертя ковзання?

Аналітичне моделювання динаміки механічних систем.

Розрахункову схему механічної системи тіл надано на рис. 1.

Рисунок 1. Схема механічної системи

Механічна система розпочинає рух зі стану покою під дією сил ваги, прикладених у центрах ваги кожного тіла. Тіло 1 рухається поступально зі швидкістю уздовж нерухомої шорсткої поверхні, яка нахилена до горизонту під кутом . Тіла системи 1 і 2, 3 і 4 є зв’язаними нерозтяжними невагомими нитками, а тіла 2 та 3 під час руху залишаються зчепленими й здійснюють обертальні рухи навколо нерухомої вісі з кутовими швидкостями , відповідно. Котушка 4 здійснює плоско-паралельний рух при коченні без ковзання уздовж нерухомої шорсткої поверхні, нахиленої до горизонту під кутом . Котушка просувається уздовж поверхні зі швидкістю її центру мас та обертається навколо осі з кутовою швидкістю . Ковзання тіла 1 та кочення котушки 4 по шорстким поверхням відбувається під дією сил ваги та сили опору ковзанню й моменту опору коченню , відповідно, як показано на рис. 2.

Рисунок 2. Сили, які діють у системі

З а в д а н н я. Визначити швидкості та прискорення тіл механічної системи в момент часу, коли тіло 1 зі стану спокою переміститься уздовж поверхні на відстань (м). Вихідні дані для розв’язання завдання наведено у таблиці 4.4, де (кг) – маси тіл (i = 1, 2, 3, 4); , (м) – зовнішні та внутрішні радіуси тіл обертання (i = 2, 3, 4); (м) – радіуси інерції складених тіл обертання (i = 2, 3), – коефіцієнти тертя ковзання, (м) – коефіцієнт опору коченню шорстких поверхонь.

Таблиця 4.4 – Вихідні дані

10m

0,1

0,4r

В и з н а ч е н н я ш в и д к о с т е й т і л. Для визначення швидкостей тіл системи скористаємось теоремою про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній формі. Для системи тіл, що починає рух зі стану покою під дією зовнішніх сил, запишемо цю теорему

де – кінетична енергія системи тіл, – робота зовнішніх сил – сил ваги , сили опору ковзанню й моменту опору коченню , прикладених до рухомих центрів ваги тіл 1 і 4. Сили ваги тіл 2 і 3, які прикладені до нерухомих центрів ваги, роботу не здійснюють.

Кінетична енергія тіла 1, що рухається поступально уздовж нерухомої шорсткої поверхні зі швидкістю , дорівнює . Кінетичні енергії тіл 2 та 3, що здійснюють обертальні рухи навколо своєї нерухомої вісі з кутовими швидкостями , дорівнюють , , де – осьові моменти інерції тіл 2 і 3 відповідно. Котушка 4 здійснює плоско-паралельний рух при коченні по шорсткій поверхні, так що її центр мас просувається уздовж поверхні зі швидкістю , та обертається навколо осі з кутовою швидкістю . Кінетична енергія котушки 4 дорівнює , де – осьовий момент її інерції 4.

Кінетичну енергію системи тіл запишемо так:

Далі визначимо роботу сил ваги тіл 1 і 4, центри ваги яких зі стану покою переміщуються уздовж нахилених поверхонь на відстані

Значення сили опору ковзанню та моменту опору коченню , прикладених до рухомих центрів ваги тіл 1 і 4 визначимо з урахуванням законів опору

де – коефіцієнти тертя ковзання й кочення; – нормальні реакції, що діють на нахилені поверхні.

Роботу сили опору руху тіла 1 і моменту опору коченню тіла 4 визначимо так:

Остаточно запишемо вираз для роботи зовнішніх сил

де – проекції зовнішніх сил ваги тіл 1 і 4 на напрямки їхнього руху, – проекція моменту опору коченню на вісь тіла 4 відповідно

Тепер скористаємось кінематичними співвідношеннями між швидкостями тіл системи:

Для подальшого розгляду введемо позначення і знайдемо з рівностей співвідношення між швидкостями тіл системи

Після інтегрування цих рівностей з урахуванням того, що у початковому стану система знаходилась у покої, отримуємо співвідношення між кутами обертання та переміщеннями тіл системи

Перепишемо вираз для кінетичної енергії системи тіл з урахуванням співвідношень

а також для роботи зовнішніх сил, діючих на тіла системи, з урахуванням співвідношень

Далі, врахувавши (4.35), (4.36) в рівності (4.29), остаточно знайдемо швидкості та прискорення тіл механічної системи в момент часу, коли тіло 1 зі стану спокою перемістяться уздовж поверхні на відстань

, (4.37)

де

Підставляючи у формулу (4.37) вихідні дані (див. табл. 4.4), одержимо такі значення: T^*= 5,629 кг, A^*= 96,258 Дж, v₁= 4,135 м/с. За цими даними визначимо швидкості, координати центрів мас та кути обертання усіх тіл системи:

; (4.38)

, (4.39)

а далі одержимо такі значення:

Для знаходження прискорень тіл системи скористуємось теоремою про зміну кінетичної енергії в диференційній формі

, (4.40)

де – кінетична енергія системи тіл, – потужність зовнішніх сил, а також рівністю (4.35) для визначення похідної від кінетичної енергії

, (4.41)

де , – прискорення тіла 1, яке здійснює поступальний рух уздовж нерухомої шорсткої поверхні зі швидкістю .

Потужність сил дорівнює роботі зовнішніх сил у одиницю часу, тобто вона може рахуватись як добуток сили на відповідну швидкість

. (4.42)

Враховуючи співвідношення (4.29), перепишемо (4.42) так:

. (4.43)

Далі використавши (4.41), (4.43) у рівності (4.40), остаточно знайдемо прискорення тіл механічної системи в момент часу, коли тіло 1 з положення покою переміститься уздовж поверхні на відстань x₁=

. (4.44)

Із співвідношень (4.38) після диференціювання знайдемо прискорення тіл системи:

. (4.45)

Підставляючи у вирази (4.41) та (4.43) вихідні дані та використовуючи (4.44), одержимо, що =11,258 кг, W^*=48,13 Н, a₁=4,37 м/с². За цими даними з (4.45) визначимо прискорення тіл системи:

Таким чином, застосувавши теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній та диференціальній формах, для розглянутої у завданні системи тіл, визначено швидкості й прискорення тіл системи в момент часу, коли тіло 1 з положення спокою перемістилось уздовж поверхні на відстань = 2 м.

Далі виконаємо дослідження руху системи у часі, застосувавши диференціальні рівняння тіл системи, отриманих із загальних теорем динаміки, які зводяться до інтегрування систем диференціальних рівнянь з початковими умовами. Для виконання дослідження використаємо ПК КіДиМ.

КОМП’ЮТЕРНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

Для механічної системи тіл, яку розглянуто в попередньому підрозділі і представлено розрахунковою схемою (див. рис. 4.12) з вихідними даними (див. табл. 4.4), визначити швидкості та прискорення її тіл у довільний момент часу. Для опису моделі системи скористаємось правилами ПК КіДиМ. Представимо систему такою, що складається з інерційних та силових елементів, структура яких була представлена у 1-му розділі. Поступальний рух тіла 1 описують однією координатою , тому у моделі, що аналізується, цьому тілу відповідатиме інерційний елемент . Тіла 2 та 3 здійснюють обертальний рух, який описують координатами та , їм відповідатимуть інерційні елементи та . Котушка 4 здійснює плоско-паралельний рух, який описують координатами та , тому у моделі ПК КіДиМ котушці відповідатимуть два інерційні елементи та .

Силові елементи фактично являють собою проекції зовнішніх сил механічної системи на відповідні напрямки (напрямки відліку локальних координат елементів):

(4.46)

Рухи вказаних інерційних елементів пов’язані поміж собою, кінематичні рівняння зв’язку можна одержати з виразу (4.33)

. (4.47)

Рух системи розпочинається із положення спокою, тому початкові умови можуть бути сформульовані наступним чином:

. (4.43)

Далі задачу розв’язують шляхом чисельного інтегрування на заданому інтервалі часу [0, t_*], прийнявши, наприклад, t_* рівним часу, за який тіло 1 зі стану спокою переміститься уздовж поверхні на відстань (м).

«L5.kdm»

Текст файлу	Коментар
РАБОТА:=№ 4.2; ВЫПОЛНИЛ:= студент Іванов П.С., гр. I-17а; #Дослідження динаміки механічної системи # #Параметри інерції тіл системи: x1,fi2,fi3,xc4,fi4 - координати тіл # J.x1=m1; J.fi2=J2; J.fi3=J3; J.xc4=m4; J.fi4=J4; #Проекції на узагальнені координати активних сил #	Завдання рівнянь руху тіл системи й їхніх параметрів
P.x1=P1; P1=m1g(cos(alfa)-fsin(betta)); P.xc4=P4; P4=m4gcos(betta); P.fi4=-Mtr; Mtr=f1m4gsin(betta); #Моменти інерції тіл системи# J2=m2ro2^2; J3=m3ro3^2; J4=m4R4^2/2; # Співвідношення між узагальненими координатами тіл системи# fi2=x1/R2; fi3=x1d/r3; fi4=x1d/(2R4); xc4=x1d/2; d=r2r3/(R2*R3);
#Визначення швидкостей й прискорень тіл системи # v1=x1't; a1=x1't't; vc4=xc4't; a4=xc4't't; omega2=fi2't; eps2=fi2't't; omega3=fi3't; eps3=fi3't't; omega4=fi4't; eps4=fi4't't; #Вихідні дані # r=0.1; m=1;m1=10m; m2=4m; m3=6m; m4=8m; R2=4r; r2=r; ro2=2r; R3=8r; r3=4r; ro3=6r; R4=4r; f=0.1; f1=0.4*r; alfa=pi/3; betta=pi/6; S=2;	Відповідні до завдання розрахункові та вихідні дані
#Визначення кінетичної енергії (Т) та роботи (А)сил # Ts=0.5(m1v1^2+J2omega2^2+J3omega3^2+ J4omega4^2+m4vc4^2); A=P1x1+P4xc4+Mtrfi4; #Визначення похідної за часом від кінетичної енергії та потужності (W) сил # dT=m1v1a1+J2omega2eps2+J3omega3eps3 +J4omega4eps4+m4vc4a4; Ws=P1v1+P4vc4+Mtromega4; #Порiвняння аналiтичних розвязкiв з чисельними# v1k=sqrt(Ak/T'); T'=m1/2+J2(1/R2)^2/2+J3(d/r3)^2/2+ J4(d/(2R4))^2/2+m4(d/2)^2/2; Ak=(P1+P4d/2+Mtrd/(2R4))S; Tk=v1k^2T'; a1k=W'/dT'; dT'=m1+J2(1/R2)^2+J3(d/r3)^2+ J4(d/(2R4))^2+m4(d/2)^2; W'=P1+P4d/2+Mtrd/(2R4);	Підготовка даних до порівняння чисельних розрахунків з даними, що визначені за аналітичними дослідженнями
dTk=dT'a1kv1k; Wk=W'*v1k;
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ:=t(0), x1(0), x1't(0); КОНЕЧНЫЕ УСЛОВИЯ:=t(0.967284); ПЕЧАТАТЬ:=x1, v1(x1), vc4(xc4), a1(v1), a4(vc4); СРАВНИТЬ:=rv1(v1,v1k,vc4), ra1(a1,a1k,a4), rTA(Ts,A,Tk,Ak), rdTW(dT,Ws,dTk,Wk), romega(omega2,omega3,omega4),reps(eps2,eps3,eps4); РАСЧЕТ:=ПЕЧАТЬ УРАВНЕНИЙ; КОНЕЦ;	Інструкції до інтегрування системи диференціальних рівнянь та виконання завдання

Значення t_*= 0.967284 с знаходимо шляхом підбирання, саме цьому часу відповідає переміщення. Засоби ПК КіДиМ дозволяють наочно переконатися у виконанні загальних теорем динаміки механічних систем. Для цього слід побудувати у однаковому масштабі графіки залежності від часу кінетичної енергії та роботи, похідної від кінетичної енергії за часом та потужності. Текст файлу вхідної інформації надає таку можливість. Якщо розглянути порівняння кінетичної енергії Tsта роботиA,можно переконатися, що їхні графіки співпадають, так само співпадають графіки похідної за часом від кінетичної енергії dTта потужності Ws

Завдання

1. Розглянути оригінальний вихідний файл «LAB5.kdm», зміст якого надано вище та коментарі до якого надаси викладач на занятті.

2. Освоїти послідовність завдань до досліджень закономірностей динаміки механічної системи.

3. Для варіантів індивідуальних завдань провести аналітичне те комп’ютерне моделювання динаміки механічної системи.

4. Дослідити зміни основних кінематичних характеристики елементів системи під час руху.

5. Дослідити, чи виконуються теореми про зміну кінетичної енергії.

Рисунок 4.21. Варіанти завдань для аналізу руху механічних систем

(на 1-му аркуші – початок)

Рисунок 4.21. Варіанти завдань для аналізу руху механічних систем

(на 2-му аркуші – закінчення)

Вихідні дані

Номер варіанта	m₁	m₂	m₃	m₄	R₂	r₂	r₂
	10m	6m	m	–	4r	–	–
	10m	6m	2m	m	6r	2r	4r
	10m	6m	2m	m	4r	2r	3r
	8m	6m	2m	–	6 r	2r	4r
	10m	6m	2m	–	4r	–	–
	16m	4m	6m	2m	6r	–	–
	10m	2m	m	m	8r	2r	4r
	10m	4m	2m	m	10r	8r	4r
	10m	6m	4m	m	6r	–	–
	19m	6m	6m	–	4r	–	–
	10m	2m	m	m	–	–	–
	10m	4m	6m	m	10r	r	6r
	10m	6m	2m	–	6r	3r	4r
	10m	4m	2m	2m	6r	3r	4r
	20m	2m	2m	6m	–	–	–
	10m	6m	2m	2m	10r	4r	8r

Вихідні дані

Номер варіанта	R₃	r₃	r₃	R₄	f	f_т.к.	S
	8r	2r	4r	–	0,01	0,12r
	–	–	–	4r	0,1	0,11r
	6r	–	–	6r	0,02	0,1r
	6r	–	–	–	0,03	–
	6r	–	–	–	0,04	0,05r
	6r	2r	4r	6r	0,05	0,04r
	–	–	–	4r	0,02	0,1r
	6r	–	–	–	0,06	–
	6r	2r	4r	6r	0,07	0,14r
	4r	–	–	–	0,08	–
	14r	4r	8r	6r	0,09	0,04r
	6r	–	–	–	0,1	–
	4r	–	–	–	0,12	0,06r
	4r	–	–	4r	0,11	0,1r
	16r	2r	6r	4r	0,13	0,08r
	4r	–	–	4r	0,14	0,05r	0,6

Список рекомендованої літератури

1. Павловський М. А. Теоретична механіка : підруч. – К. : Техніка, 2002. – 510 с.

2. Короткий довідник з теоретичної механіки : навч. посіб. / Смерека І. П., Барвінський А. Ф., Білоус Б. Д. та ін. – Львів «Інтелект-Захід, 2001. – 240 с.

3. Андреев Ю. М., Дружинин Е. И., Ларин А. А. Практикум по теоретической и аналитической механике с применением ПЭВМ : навч. посіб. – Харьков : НТУ „ХПИ”, 2004. – 100 с.

4. Лавинский Д. В., Морачковский О. К. Информационные технологии в аналитической механике : навч. посіб. – Харьков : НТУ «ХПИ», 2007. – 183 с.

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторних занять з курсу “ Теоретична механіка ”

для студентів спеціальностей ФТ-факультету

Комп’ютерний лабораторний практикум

Лабораторна робота 5

«Дослідження динаміки механічної системи»

Укладач: Лавінський Денис Володимирович

Відповідальний за випуск О. К. Морачковський

Роботу до видання рекомендував проф. Д. В. Бреславський

Редактор _____________

Коректор _____________

План 201_ р., поз. _____/_____

Підп. до друку __.__.__. Формат 60х84 1/16. Папір офсетний.

Друк – ризографія. Гарнітура Times New Roman. Ум. друк. арк. .

Обл.-вид. арк.. Наклад прим. Зам. № . Ціна договірна.

Видавничий центр НТУ “ХПІ”.

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК №116 від 10.07.2000 р.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21.

Друкарня НТУ “ХПІ”.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21.

Поиск по сайту: