Гармонические колебания. Среди разнообразных периодических движений особое место занимает гармоническое

Среди разнообразных периодических движений особое место занимает гармоническое колебательное движение. Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия, скорость, ускорение, заряд, напряжение и т.д.) изменяется со временем t по закону косинуса или синуса, то есть

, (1)

или

Здесь:

- А – амплитуда (максимальное значение величины х). Определяется начальными условиями. Измеряется в единицах величины х.

- – фаза колебания. Определяет мгновенное значение величины х в момент времени t. За период фаза получает приращение .

- – начальная фаза колебания. Определяется значением величины х в момент времени t=0.

- – собственная циклическая (круговая) частота колебаний. Определяется параметрами колебательной системы. Измеряется в .

Циклическая частота связана с линейной частотой и периодом следующими соотношениями .

Скорость и ускорение тела также изменяются по гармоническому закону. Продифференцировав по времени уравнение (1) найдем скорость изменения величины х — и ускорение :

. (2)

При этом максимальное значение скорости колеблющегося тела V_max = Aω₀, максимальное значение модуля ускорения a_{max =} Aω₀².

Кинетическая энергия колеблющегося тела W_k = ½mv² = ½mA²ω₀² sin² (ω₀t+φ).

Потенциальная энергия (учитывая, что сила квазиупругая) W_п = ½ kx² = ½ kA² cos² (ω₀t+φ).

Полная энергия системы при гармонических колебаниях W= W_k + W_п =½ kA² = ½ mω₀² A².

На рисунке приведены графики зависимости от времени смещения х, скорости V, ускорения а, кинетической W_k и потенциальной W_п энергии гармонических колебаний при начальной фазе φ = 0. Из рисунка видно, частота изменения кинетической W_k и потенциальной W_п энергии при гармонических колебаниях вдвое больше частоты изменения смещения, скорости и ускорения.

Сопоставив уравнения (1) и (2), видим, что , или

. (3)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка называют уравнением гармонических колебаний.

Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Если колебательная система, совершающая гармонические колебания, обладает одной степенью свободы (для характеристики положения достаточно одной координаты), то такая система называется линейным гармоническим осциллятором.

Для определения характера движения механической системы составляют уравнение движения системы (исходя из законов динамики или закона сохранения энергии). Если уравнение при этом приводится к виду (3), то можно однозначно утверждать, что данная система совершает гармоническое колебание, собственная частота которого равна корню квадратному из коэффициента при х(t). Воспользуемся этим методом для определения циклических частот и периодов колебаний пружинного и математического маятников.

Рассмотрим сначала пружинный маятник (рис 1 б). Пусть подвешенное к пружине тело оттянуто от положения равновесия на расстояние х (рис.1.в), а затем предоставлено самому себе. На тело действуют сила тяжести и сила упругости. Под действием этих сил тело движется с ускорением. Запишем уравнение второго закона Ньютона для этого случая (рис.1.в)

.

Это уравнение в проекции на ось ОХ и с учетом того, что для одномерного движения ускорение – это вторая производная от координаты по времени, то есть , запишется

. (4)

Величину силы упругости , действующей на тело массой m, найдем по формуле закона Гука

. (5)

После подстановки (5) в (4) получим

(6)

Величину растяжения пружины в положении равновесия (рис.1.а и 1.б) найдем из уравнения второго закона Ньютона для неподвижного тела, подвешенного к пружине ,

, (7)

, (8)

Из (7) и (8) следует, что

. (9)

После подстановки (9) в (6) и приведения подобных слагаемых получаем: , или

(10)

Сравнив уравнения (3) и (10), получим, что для пружинного маятника . .

(11)

Похожие рассуждения можно провести для математического маятника (рис.2) и показать, что . .

(12)

Математический маятник – это материальная точка на невесомой и нерастяжимой нити длиной. При гармонических колебаниях смещение маятника от положения равновесия х много меньше длины нити х << , поэтому для угла отклонения нити от вертикали имеет место соотношение

Следовательно, второй закон Ньютона для материальной точки массы m: ma = F можно записать в виде , где - ускорение точки, F = mg sin =mg - возвращающая сила. Знак минус в правой части означает, что возвращающая сила направлена противоположно смещению х.

Таким образом, дифференциальное уравнение гармонических колебаний математического маятника

Получаем период колебаний математического маятника

Физический маятник – это абсолютно твёрдое тело, совершающее колебания относительно горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс маятника С. Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника Jε = M, где J – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси проходящей через точку О. Угловое ускорение маятника ε . Момент силы тяжести маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О M = mgd sinφ, где m – масса маятника, d = CO – расстояние от оси до центра масс маятника С. При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать, что

Подставляя (2.22), (2.23) с учётом (2.24) в выражение (2.21), получаем

Минус означает, что момент возвращающей силы противоположен угловому перемещению. Отсюда получаем

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Из сравнения (2.26) и (2.7), находим период колебаний физического маятника

Сопоставляя (2.27) и (2.20), находим приведенную длину физического маятника , - это длина нити математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом данного физического маятника.

Колебания называются собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Затухающие колебания

Все реальные колебательные системы являются диссипативными[1]. Энергия механических колебаний системы с течением времени расходуется на работу против сил трения, поэтому собственные колебания всегда затухают – их амплитуда постепенно уменьшается. Потеря энергии происходит и при деформациях тел, так как вполне упругих тел не существует, а деформации не вполне упругих тел сопровождаются частичным переходом механической энергии в энергию хаотического теплового движения частиц этих тел.

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаний, пропорциональны величине скорости. Будем называть эти силы, независимо от их происхождения, силами трения или сопротивления и вычислять их по следующей формуле: . Здесь r – коэффициент сопротивления среды, – скорость движения тела. Знак минус указывает на то, что силы трения всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения тела.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний пружинного маятника

. (13)

Здесь: m – масса груза, k – жесткость пружины, – проекция скорости на ось ОХ, – проекция ускорения на ось ОХ. Поделим обе части уравнения (13) на массу m и перепишем его в виде:

. (14)

Введем обозначения:

, (15)

. (16)

Назовем коэффициентом затухания, а мы ранее назвали собственной циклической частотой. С учетом введенных обозначений (15 и 16) уравнение (14) запишется

. (17)

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний любой природы. Вид решения этого линейного дифференциального уравнения второго порядка зависит от соотношения между величиной – собственной частотой незатухающих колебаний и коэффициентом затухания .

Если трение очень велико (в этом случае ), то система, выведенная из положения равновесия, возвращается в него, не совершая колебаний («ползет»). Такое движение (кривая 2 на рис.3) называют апериодическим.

Если же в начальный момент система с большим трением находится в положении равновесия и ей сообщается некоторая начальная скорость , то система достигает наибольшего отклонения от положения равновесия , останавливается и после этого смещение асимптотически стремится к нулю (рис.4).

Рис.3 Рис.4

Если система выведена из положения равновесия при условии и отпущена без начальной скорости, то система также не переходит положения равновесия. Но в этом случае время практического приближения к нему оказывается меньше, чем в случае большого трения (кривая 1 на рис 3). Такой режим называется критическим и к нему стремятся при использовании различных измерительных приборов (для быстрейшего отсчета показаний).

при малом трении (в этом случае ) движение носит колебательный характер (рис.5) и решение уравнения (17) имеет вид:

. (18)

Формула

(19)

описывает изменение амплитуды затухающих колебанийсо временем. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени (рис.5) и тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления и чем меньше масса колеблющегося тела, то есть чем меньше инертность системы.

Величину

(20)

называют циклической частотой затухающих колебаний. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Поэтому назвать частотой можно лишь условно в том смысле, что она показывает, сколько раз за секунд колеблющаяся система проходит через положение равновесия. По этой же причине величину

(21)

можно назвать условным периодом затухающих колебаний.

Для характеристики затухания введем следующие величины:

- логарифмический декремент затухания;

- время релаксации;

- добротность.

Отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом называют декрементом затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T (натуральный логарифм отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом):

.

Поскольку и , то .

Воспользуемся формулой зависимости амплитуды от времени (19) и получим

(22)

Выясним физический смысл величин и . Обозначим через промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний убывает в е раз и назовем его временем релаксации. Тогда . отсюда следует, что

. (23)

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина обратная времени релаксации. Пусть N_e – число колебаний, за которое амплитуда затухающих колебаний убывает в е раз. Тогда

. (24)

Из формул (22), (23) и (24) получим

. (25)

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть физическая величина обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда затухающих колебаний убывает в е раз.

Добротностьюколебательной системы назовем отношение

. (26)

Из формул (25) и (26) следует, что . Это означает, что добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Если затухание мало, то добротность можно определить следующим образом: . Здесь Е – полный запас энергии в одном из положений наибольшего отклонения, – потери энергии за период. Добротность определяет относительную убыль энергии за период, подобно тому, как декремент – относительную убыль амплитуды.

Вынужденные колебания

Вынужденные механические колебания – это незатухающие колебания, которые система совершает под действием внешней периодически изменяющейся силы . Здесь - амплитудное значение вынуждающей силы, - частота изменений вынуждающей силы. Вынужденные колебания совершаются с частотой вынуждающей силы.

2-й закон Ньютона для тела массой , совершающего вынужденные колебания . Таким образом, к возвращающей силе и силе трения добавляется еще внешняя периодическая сила . Если поделить обе части уравнения на массу и ввести обозначения: , и то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний будет иметь следующий вид: . А решение этого уравнения имеет вид: , где - амплитуда вынужденных колебаний, - сдвиг фаз между колебаниями системы и вынуждающей силы. Расчет показывает, что амплитуда вынужденных колебаний определяется выражением .

При изменении частоты внешней силы изменяется амплитуда вынужденных колебаний . Если частота внешней силы приближается к частоте собственных колебаний системы , то при некоторой частоте, называемой резонансной, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума – резонансного значения . При этом .

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы.

На рисунке показаны резонансные кривые. Отметим, что с увеличением коэффициента затухания резонансная амплитуда уменьшается.

[1] Диссипация – рассеяние энергии.

Поиск по сайту: