Исследование взаимосвязанных динамических рядов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(государственный технический университет)

филиал «Восход»

Кафедра Б-11 Сарапулов В. Н.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетной работы по дисциплине

«Контрольно-испытательные системы»

на тему: «Прогнозирование показателей технического состояния

космических средств»

Одобрено Ред. Советом

филиала «Восход» МАИ

протокол №___________

от «___»_________2006 г.

Байконур 2006 г.

Аннотация

Методические указания предназначены для помощи студентам специальности 160906 в выполнении расчетной работы по курсу «Контрольно-испытательные системы».

Расчетная работа основана на получении навыка прогнозирования показателей технического состояния космических средств.

Во время проведения расчетной работы прививается навык расчета прогнозных значений динамического ряда, характеризующего оценки технического состояния космических средств в будущем.

Расчетная работа закрепляет материал лекционного курса по дисциплине «Контрольно-испытательные системы».

Содержание

Введение 5

Цель расчетной работы 6

Прогнозирование показателей технического состояния

Космических средств 6

Исследование взаимосвязанных динамических рядов 10

Пример 1 13

Приложение А 16

2 Практическая часть 17

3 Отчетность по расчетной работе 18

Контрольные вопросы 19

Литература 20

Основные обозначения

КСр – космическое средство

РКК – ракетно-космический комплекс

Введение

Приступая к выполнению расчетной работы, студент должен внимательно изучить теорию, изложенную в лекционном материале.

При выполнении расчетной работы первоначально надо разобраться в основах существования динамических рядов, как с их помощью можно прогнозировать оценки величин, характеризующих техническое состояние КСР.

В результате выполнения расчетной работы студент должен уметь разбираться в оценке прогнозных значений величин, характеризующих техническое состояния КСр; научиться исследовать взаимосвязанные динамические ряды.

Расчетная работа должна помочь студентам специальности 160906 лучше усвоить теоретический курс, читаемый по дисциплине «Контрольно-испытательные системы».

Целью расчетной работы является получение навыка прогнозирования технического состояния космических средств с помощью динамических рядов.

Прогнозирование показателей технического состояния

Космических средств

Формы предвидения технического состояния космических средств тесно связаны в своих проявлениях друг с другом и с исследуемым объектом в системе управления и планирования, представляя собой последовательные ступени познания поведения объекта в будущем. Исходное начало этого процесса – общенаучное предвидение состояний объекта, завершающий этап – составление плана перевода объекта в новое заданное для него состояние. Важнейшим средством для этого служит прогноз как связующее звено между общенаучным предвидением и планом. План и прогноз представляют собой взаимодополняющие друг друга стадии планирования. Прогноз выступает как фактор, ориентирующий соответствующую практику на возможности развития в будущем, а прогнозирование – как инструмент разработки планов. Прогноз представляет собой исследовательскую базу планирования, имеющую собственную методологическую и методическую основу. Задача прогнозирования – максимальное уменьшение влияния неопределенностей в будущем на результаты решений, принимаемых в настоящее время. Цель прогнозирования – создать научные предпосылки для принятия управляющих решений.

С целью реализации задач прогнозирования принимается или разрабатывается прогнозная модель, т.е. модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта в будущем и путях и сроках их осуществления.

В качестве прогнозной модели процессов, развивающихся во времени, чаще всего используются динамические ряды (синонимы : ряд динамики; временной ряд), под которыми понимается временная последовательность ретроспективных значений характеристики объекта прогнозирования.

Динамические ряды могут быть в зависимости:

1) от способа выра­жения уровней - рядами абсолютных, относительных и средних величин;

2) от способа представления на определенные моменты времени или за оп­ределенные промежутки времени - моментными (на начало суток, месяца, года и т.п.) и интервальными (за сутки, за месяц, за год и т.п.) рядами.

Динамический ряд может быть представлен Y₁( t= 1,7) или y₁, у₂, ...,у_i, ,...,у_t, где t =1,2, ..., Т - единица времени (сутки, неделя, месяц, год); Т - длина (продолжительность) динамического ряда.

Для упрощения записи формул введем обозначение ряда y_i(i = 1, n), где i - номер члена ряда; n - число членов ряда.

Оценка прогнозных значений величин может быть получена путем экстраполяции

y_i+L = f ( y_i , L , a_{0 ,}a_{1 , … ,} a_m ) , ( 51 )

где y_i+L – прогнозное значение динамического ряда;

L – период упреждения прогноза;

y_i – уровень динамического ряда, принятый за базу экстраполяции;

a₀ ,a_{1, … ,} a_m - коэффициенты (параметры) уравнения тренда.

Если динамический ряд не имеет тенденции к изменению, то дове­рительный интервал прогнозных значений характеристики объекта прогно­зирования (интервальный прогноз) определяется по формуле
y_i+L = ( 52 )

где t(P, k) - значение критерия Стьюдента для заданной (доверительной) вероятности (Приложение A);

Р - доверительная вероятность;

k - число степеней свободы;

n - число членов ряда;

- среднее квадратическое отклонение динамического ряда;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Рисунок 1 - Динамический ряд и его аппроксимирующая функция y 1-3,5

Если динамический ряд имеет тенденцию и известно уравнение тренда

y_f , то доверительный интервал для прогнозного значения характери­стики объекта прогнозирования определяется как

Y_i+L = y_f ( 53 )

где - среднее квадратическое отклонение динамического ряда от тренда;

n - z - число степеней свободы;

z - число параметров уравнения тренда.

Если t = Т + L, то уравнение ( 53 ) определяет значение довери­тельного интервала для тренда, продленного на период упреждения прогно­за L (на L единиц времени).

Следует отметить, что величина доверительного интервала ( 53) не зависит от продолжительности периода прогноза. В работе¹ предложено учитывать неопределенность, связанную с положением тренда на периоде упреждения,

_______________________________

¹ Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М., Статистика, 1975.-184 с: ил.

и рассчитывать доверительный интервал по формуле

y_i+L = y_f ± t ( P, k )σ_p , ( 54 )

где σ_p - среднеквадратическое отклонение, учитывающее неопределенность положения тренда.

В общем случае задача определения σ_p решена только для линейного тренда, полиномов невысоких степеней и уравнений трендов, приводимых к линейным.

Для линейного тренда

( 55 )

( 56 )

Значение комплекса K (рисунок 5) зависит от периода основания про­гноза Т (п) и периода упреждения прогноза L: увеличение периода основа­ния прогноза Т (п) и уменьшение периода упреждения прогноза приводят к уменьшению комплекса K, а следовательно, к уменьшению величины дове­рительного интервала.

Как следует из приведенных графиков, влияние периода упреждения прогноза на величину доверительного интервала неодинаково для различ­ных значений периода основания прогноза: чем больше продолжительность периода

основания, тем меньшее влияние оказывает период упреждения прогноза на величину доверительного интервала.

При определении периода упреждения прогноза следует соблюдать условие L < п.

Для линейного тренда решена задача определения минимальной продолжительности периода основания прогноза для обеспечения требуе­мого периода упреждения прогноза.

Из равенства среднеквадратических отклонений σ_y = σ_yf может быть получено трансцендентное уравнение

( 57 )

1 2 3 4 5 6 Период упреждения L

Рисунок 2 - Зависимость К от продолжительности периода упреждения для некоторых значений периода основания прогноза

решение которого возможно численными методами. Так, для обеспечения периода упреждения прогноза L = 1 период основания прогноза должен быть п ≈ 6. Для полинома 2-й степени - п ≈13; для полинома 3-й степени п ≈23.

Формулы ( 52 ), ( 53 ), ( 54 ) позволяют оценить точность про­гноза, т.е. определить доверительный интервал при заданной вероятности.

Для оценки достоверности прогноза необходимо задаться величиной интервала. Так как ширина интервала равна 2∆у -t(P,k)K σ_yf ,то принимая ∆у = (0,1 - 0,2) у_if ,можно определить величину критерия Стьюдента. По рас­пределению Стьюдента (Приложение A) для числа степеней свободы п - 2 определяется доверительная вероятность.

Исследование взаимосвязанных динамических рядов

Под взаимосвязанными динамическим рядамипонимают такие ря­ды, в которых уровни одного ряда определяют в какой-либо степени уровни другого ряда. Например, ряд уровней расходов на техническое обслуживание КСр оказывает влияние на частоту отказов, ряды уровней температуры и влажности воздуха в сооружении РКК - на показатели свойств КСр и т.д.

Если Y₁ и Y₂ представляют собой динамические ряды, то следует ус­тановить: 1) являются ли эти ряды взаимосвязанными; 2) если являются, то определить, как быстро изменения одного ряда приводят к изменению дру­гого ряда.

Мера зависимости между рядами динамики Y_1t (t = 1, T) и Y_2t (t = 1, T), или Y₁ и Y₂,где t = 1, 2,...T - единица времени (секунда, минута, час, сутки и т.д.), Т - длина динамического ряда, характеризуется эмпирическим коэф­фициентом корреляции

( 58 )

Средние значения и средние квадратические отклонения динамиче­ских рядов определяются по формулам соответственно

( 59 )

( 60 )

Если = 0,8 - 0,9, то независимо от вида связи (линейная, нели­нейная), она достаточна тесна для того, чтобы исследовать ее форму.

Совпадение общих тенденций во взаимосвязанных временных рядах, чаще всего, зависит не от взаимной связи, а от прочих неучитываемых фак­торов. С целью исключения влияния автокорреляции в самих рядах дина­мики предварительно необходимо освободится от их тенденций, после чего анализ взаимосвязи проводится по отклонениям от трендов.

Оценка степени взаимосвязи отклонений в динамических рядах про­изводится расчетом коэффициента корреляции

, ( 61 )

где - отклонения от тенденций по рядам Y_1i и Y_2i соответственно;

y_{1f ,} y_2f - тенденции (тренды) рядов;

- средние квадратические отклонения, определяемые по вели­чинам

Выдвигается гипотеза, что увеличение (уменьшение) ряда Y₂ в зави­симости от изменений ряда Y₁ в большей мере может проявиться в после­дующих периодах.

Для проверки данной гипотезы производится расчет коэффициентов корреляции между отклонением ряда Y₁ в t-ойединице времени и отклоне­нием ряда Y₂ в (t+i)-ой единице времени

( 62 )

где i – 0,1, … - временной сдвиг.

При i = 0 формула ( 62 ) преобразуется в формулу ( 61).

Последовательность величин r_i ( i = 0, 1,...) выражает поведение так называемой нормированной взаимнокорреляционной функции.

Интервал временного сдвига, соответствующий максимальной кор­реляции отклонений от тенденций, называется временным лагомили ла­гом.Физический смысл лага заключается в следующем, если в какой-то момент времени были привлечены (или изъяты) дополнительные ресурсы, то их максимальная отдача (или ущерб) проявится через интервал, равный лагу.

Задачи исследования взаимосвязанных динамических рядов:

■ установить наличие взаимосвязи между динамическими рядами;

■ провести анализ влияния показателей одного свойства на показа­тели другого свойства;

■ определить временной лаг, соответствующий максимальному влиянию одного ряда на другой.

Исследование взаимосвязанных динамических рядов покажем на конкретном примере.

Пример. Для динамических рядов Y₁ и Y₂ (таблица 1) устано­вить наличие взаимосвязи и рассчитать величину временного лага.

Алгоритм исследования (расчета):

1) расчет средних значений динамических рядов по формулам лам(59);

2) расчет средних квадратических отклонений динамических рядов по формулам ( 60 ) σ_Y1 = 10,92 и σ_Y2= 12,04;

3) расчет коэффициента корреляции по формуле ( 58 ) r_Y1/Y2 = 0,9832. Вывод: между рядами существует достаточно тесная связь;

4) построение графиков самих рядов и их трендов (рисунок 3). Значения уравнений тренда для соответствующих моментов времени при­ведены в таблице 1;

5) расчет отклонений ε_t и ξ_t и их средних квадратических отклонений (таблица 1);

6) расчет произведений отклонений ε_t ξ_t-i , где i - временной сдвиг, (таблица 1);

7) расчет коэффициентов корреляции r_t по формуле ( 62 ). По­строение графика зависимости коэффициентов корреляции r_t от интервала временного сдвига i (рисунок 4).

9)Определение ла 8) Определение лага на основании анализа рисунка 1 (лаг равен 4 ед.времени).

10) Построение графика зависимости Y₂ и Y₁ и расчет по методу наименьших квадратов коэффициентов уравнения регрессии между ними

(рисунок 5)

Y₂= 1,0845Y₁ + 8,6457. ( 63 )

 

 

Рисунок 3 - Динамические ряды Y₁, Y₂ u их тренды Y_1f , Y_2f

 

 

 

Временной сдвиг i

Рисунок 4 - График зависимости от временного сдвига

5 10 15 20 25 30 35 40 45

 

Рег Рисунок 5 – График регрессионной зависимости между Y₂ и Y₁

Таблица 1 - Расчет взаимосвязанных динамических рядов

Приложение А

(справочное)

Распределение Стьюдента. Значения t ( P, k )

		,	к)
P k	Р	0,90		0,95		0,99
		6,314		12,706		63,657
		2,920		4,303		9,925
		2,353		3,182		5,841
		2,132		2,776		4,604
		2,015		2,571		4,032
		1,943		2,447		3,707
		1,895		2,365		3,499
		1,860		2,306		3,355
		1,833		2,262		3,250
		1,812		2,228		3,169
		1,796		2,201		3,106
		1,782		2,179		3,055
		1,771		2,160		3,012
		1,761		2,145		2,977
		1,753		2,131		2,947
		1,746		2,120		2,921
		1,740		2,110		2,898
		1,734		2,101		2,878
		1,729		2,093		2,861
		1,725		2,086		2,845
		1,697		2,042		2,750
		1,684		2,021		2,704
		1,676		2,008		2,677
		1,660*-		1,984		2,626

Практическая часть

Провести исследование взаимосвязанных динамических на основе рассчета их параметров согласно вариантов заданий согласно таблицы 2.

Таблица 2.

Поиск по сайту: