«МАТИ» - Российский государственный технологический университет
им. К.Э.Циолковского
Кафедра «Высшая математика»
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Варианты курсовых заданий
Составители: Выск Н.Д.
Титаренко В.И.
Москва
Пособие предназначено для студентов первого курса, изучающих в рамках общего курса высшей математики тему «Интеграл». Рассмотрены основные приемы интегрирования, методы вычисления определенных интегралов и их геометрические приложения.
В каждом разделе приводится решение типовых задач.
Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам.
Настоящее пособие может использоваться на всех факультетах и специальностях.
I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве Х, если для всех х Х. Совокупность всех первообразных данной функции называется ее неопределенным интегралом:
,
где С – произвольная постоянная.
Для отыскания неопределенного интеграла используют таблицы основных интегралов, свойства интеграла (в частности, линейность), тождественные преобразования (так называемое непосредственное интегрирование), а также применяют различные специальные приемы, позволяющие привести исходные интегралы к табличным.
1. Замена переменной в неопределенном интеграле
Формулу замены переменной:
,
где х = φ(t), причем должна существовать обратная функция t = φ-1(x).
Пример 1. .
Применим подстановки: t = x², dt = 2xdx и воспользуемся формулой замены переменной:
Пример 2. .
Сделаем замену переменной: x² = t. Тогда . Следовательно,
2. Интегрирование по частям
Формулу интегрирования по частям:
полезно применять в случае, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух функций, одна из которых является многочленом, или если подынтегральная функция не имеет табличной первообразной (логарифм, обратные тригонометрические функции и т.п.).
Пример 3. .
Полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда Используя формулу интегрирования по частям, находим:
Кроме того, интегрирование по частям применяется для получения уравнений, из которых можно найти искомую первообразную. Такие возможности возникают, когда подынтегральное выражение содержит произведение множителей вида sin kx или cos kx и enx, и в некоторых других случаях.
Пример 4.
.
Тогда 2I = ex (sin x – cos x), или
3. Интегрирование рациональных дробей
Если рациональная дробь является неправильной, то есть
т ≥ п, то ее можно представить в виде суммы
где Мт-пи Rr – многочлены степеней т-п ≥ 0 и r, причем r < n. Разложение правильной дроби в сумму простейших имеет вид: = =
При этом каждая из простейших дробей, стоящих в правой части равенства, интегрируется в квадратурах.
Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо в случае, если она является неправильной, выделить целую часть, затем разложить знаменатель оставшейся правильной дроби на множители степени не выше второй и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей, вычислив коэффициенты их числителей с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Пример 5.
Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, что приведет к линейной системе относительно A,B,C,D,E:
x4: A + B = 0
x³: -2B + C = 0
x²: 2A + B – 2C + D = 2
x: -2B + C – 2D + E = 2
x0: A – 2C – 2E = 13.
Отсюда A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,
, где
Таким образом, окончательный результат имеет вид:
4. Интегрирование иррациональных выражений
После соответствующей замены переменных многие иррациональные функции можно свести либо к рациональным дробям, либо к тригонометрическим выражениям, интегрирование которых будет рассмотрено ниже.
Для дробно-линейных иррациональностей удобной заменой является выбор в качестве новой переменной подкоренного выражения в степени , где р – наименьший общий знаменатель дробных степеней в подынтегральном выражении.
Пример 6. .
Сделаем замену переменной: x + 3 = t4. Тогда dx = 4 t³dt. Подставим полученные результаты в подынтегральное выражение:
При интегрировании квадратичных иррациональностей привести подынтегральное выражение к рациональному виду помогают тригонометрические замены:
x = asin t, если в подынтегральную функцию входит ,
x = atg t для ,
, если подынтегральная функция содержит .
Пример 7. .
Выделив полный квадрат в квадратном трехчлене, получим:
, где u = x + 1. Теперь сделаем замену переменной: Подынтегральное выражение при этом примет вид:
Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа.
Пример 8. .
Сделаем так называемую обратную подстановку: .
Тогда
5. Интегрирование тригонометрических функций
В зависимости от вида подынтегральной функции можно применять для упрощения тригонометрического выражения различные способы.
Для интегралов вида :
а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, m = 2k + 1), то
.
Пример 9.
б) если т и п – четные, положительные, то степени понижаются сведением к двойному углу по формулам
Пример 10.
в) Если т,п – четные и хотя бы одно из них отрицательно (или если т и п – отрицательные числа одинаковой четности), то используем соотношения
Пример 11.
Пример 12.
Интегралы вида приводятся к табличным с помощью формул
Пример 13.
Интегралы вида , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t в общем случае с помощью подстановки , откуда . В случае четности R по sin x и
cos x: R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x) используем подстановку t = tg x, откуда .
Пример 14.
При вычислении интеграла применена подстановка .
Пример 15.
Здесь использовалась замена t = tg x .
II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Формула Ньютона-Лейбница
Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо, пользуясь известными методами интегрирования, получить первообразную от интегрируемой функции и, применяя формулу Ньютона-Лейбница
найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример 16. Вычислить интеграл .
Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:
и применим подстановку т.е. x = t². Определим новый промежуток интегрирования: х = 4 при t = 2; х = 9 при t = 3. Следовательно,
2. Несобственные интегралы
Для вычисления несобственных интегралов необходимо применить предельный переход, то есть изменить пределы интегрирования так, чтобы они стали конечными (для несобственных интегралов 1-го рода) и подынтегральная функция сохраняла непрерывность внутри и на концах нового промежутка интегрирования (для несобственных интегралов 2-го рода). Затем, вычислив значение интеграла в измененных пределах по формуле Ньютона-Лейбница, нужно применить предельный переход для возвращения к пределам интегрирования, заданным в условии задачи.
Пример 17. Найти несобственный интеграл .
Рассматривается несобственный интеграл 2-го рода, так как подынтегральная функция терпит разрыв на правом конце промежутка интегрирования. На основании определения
если этот предел конечен. Имеем:
Пример 18. Исследовать сходимость интеграла .
Применим теорему сравнения, по которой, если при x > a выполнено условие и если сходится, то также сходится. В нашем случае при х ≥ 1 справедливо неравенство . Рассмотрим Так как сходится, то на основании теоремы сравнения несобственный интеграл сходится.
Для определения площадей фигур, ограниченных сверху и снизу заданными кривыми у1(х) и у2(х), прежде чем применять формулу для нахождения площади
часто нужно бывает определить пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения кривых у1(х) и у2(х). Они находятся как решения уравнения у1(х) = у2(х). Если корни этого уравнения (в порядке возрастания) х1 и х2, то х1 – нижний предел интегрирования, а х2 – верхний предел.
К возможным геометрическим приложениям определенного интеграла относятся, кроме того, вычисление длины дуги кривой и объема тела вращения.
Пример 19. Вычислить длину дуги кривой y = ln x от точки с абсциссой до .
Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах, определяется по формуле:
В нашем случае следовательно,
. Тогда
Задания для курсовой работы включают по 10 задач. В №1-6 требуется найти неопределенные интегралы, в №7 – вычислить определенный интеграл, в №8-9 выполнить задания, связанные с геометрическими приложениями определенного интеграла, и в №10 – найти несобственный интеграл или исследовать его на сходимость.