Динамика вращательного движения относительно

Момент инерции. Теорема Штейнера

Примеры решения задач

8.1.Найти моменты инерции системы относительно осей 0 х и 0у, состоящей из 4-х шариков массами: m₁ = m, m₂ = 2∙m, m₃ =3∙m, m₄ = 4∙m и, расположенных в вершинах прямоугольника со сторонами a и b = 2∙a.

Дано: m1 = m m2 = 2∙m m3 =3∙m m4 = 4∙m a, b = 2∙a	Решение. Каждый шарик можно считать материальной точкой, т. е. I = m , где r – расстояние от точки до оси (См. рис.). Момент инерции – величина аддитивная, т. е.
Найти: Ix; Iy

,

следовательно

.

Ответ: 28∙m∙a²; 5∙m∙a².

8.2.Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси перпендикулярной его середины (См. рис.).

,

где – масса элемента стержня длиной , т.е. .

тогда

,

т.к. .

Ответ: .

8.3. Вычислить момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр.

Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, то R² можно вынести из под знака интеграла

,

где — полная масса обруча.

Ответ: .

8.4. Вычислитьмомент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр.

величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьём диск на бесконечно тонкие обручи радиусом s и толщиной ds (См.рис.).

Площадь поверхности обруча равна произведению его длины на толщину: 2× p× s× ds . Поскольку масса т диска распределена равномерно, то масса обруча dm пропорциональна площади его поверхности

.

Момент инерции обруча был найден в задаче 8.3.

.

Осталось просуммировать моменты инерции всех таких обручей

.

Такой же результат получится и для момента инерции цилиндра конеч­ной длины относительно его продольной оси.

Ответ: .

8.5.Вычислить момент инерции шара относительно его диаметра.

от центра (См.рис.).

Радиус такого диска равен

Объём диска dV_z равен произведению его площади на толщину

.

Плотность материала шара равна

.

Тогда масса диска

.

Момент инерции диска был найден в задаче 8.4. В применении к данному слу­чаю, он равен

.

Момент инерции шара находится интегрированием по всем таким дискам

.

Ответ: .

8.6.Найти момент инерции однородного цилиндра массой m и радиусом R относительно оси 0¢0¢, параллельной оси симметрии цилиндра 00 и, отстоящей от неё на расстоянии d = 1,5∙R.

Дано: m, R; d = 1,5∙R	Решение. По теореме Штейнера ,
Найти:I	где , ,

тогда

.

Ответ: .

Динамика вращательного движения относительно

Неподвижной оси

Примеры решения задач

9.1. Зависимость угла поворота однородного диска массой 10 кг и радиусом

1 м от времени задаётся уравнением (рад), где С = 2 рад/с². Найти величину касательной силы.

Дано: m = 10 кг R = 1 м С = 2 рад/с2	Решение. Основной закон динамики вращательного движения относительно неподвижной оси . Выпишем в явном виде все величины, входящие в
Найти:Ft

уравнение: - момент инерции диска; - угловое ускорение; - момент силы.

Подставим приведённые выражения в уравнение

.

Произведём вычисления

(Н).

Ответ: 20 Н.

9.2. Материальная точка массой m = 0,1 кг вращается равноускоренно по окружности радиусом R = 0.2 м. За 75полных оборота из состояния покоя она достигает частоты вращения n = 15 об/с. Найти время движения точки, момент силы, действующий на неё, и момент импульса для этого времени.

Дано: ε = const R = 0.2 м m = 0,1 кг N = 75 ν = 15 об/с ν0= 0	Решение. Найдём конечную и начальную угловые скорости материальной точки . Запишем формулы для угла поворота
Найти:t, M, L

.

С учётом соотношений (1) - (4), имеем

. (5)

Зависимость угловой скорости от времени при равноускоренном движении

(c). (6)

После подстановки (1), (2), (5) в (6), найдём время движения точки,

.

Основной закон динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

.

Т.к. момент инерции точки и, с учётом (5),

.

Момент импульса материальной точки при вращении по окружности

.

Произведём вычисления

.

Ответ:10 с; 0,038 Н× м; 0,38 кг× м²/с.

9.3. Простейшая машина Атвуда (См. рис., с. 82), применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m₁и m₂,которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок массой m₃. Считая нить невесомой и нерастяжимой и, пренебрегая трением в оси блока, определить ускорение грузов.

. (1)

По третьему закону Ньютона

. (2)

Запишем второй закон Ньютона для грузов m₁и m₂

.

Спроецируем эти уравнения на ось 0y

.

Вычтем из первого уравнения второе и с учётом (1), получим .(3)

Запишем основной закон динамики вращательного движения блока относительно неподвижной оси

. (4)

Выпишем в явном виде все величины, входящие в уравнение: - момент инерции диска; - угловое ускорение; - момент вращающей силы.

Подставим указанные выражения в уравнение динамики (4) с учётом (2) . (5)

Формулу (5) подставим в уравнение (3)

,

откуда

.

Ответ: .

9.4.Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением e = 0,4 рад/с². Определить кинетическую энергию маховика в момент времени t₂ = 25 c, если в момент времени t₁ = 10 с момент импульса маховика составлял L₁ = 60 кг× м²/с.

Решение.

Момент импульса маховика

.

Кинетическая энергия вращательного движения маховика

.

Угловая скорость

.

Тогда

.

Следовательно

.

Произведём вычисления

(Дж).

Ответ: 750 Дж.

9.5.Однородный цилиндр радиусом R = 0,1 м и массой m = 1 кг скатывается по наклонной плоскости длиной ℓ = 2 м и углом к горизонту a = 30⁰ (См. рис., с. 84). Найти время движения цилиндра по наклонной плоскости.

Решение.

Цилиндр участвует в двух движениях: поступательном и вращательном. Поступательное движение подчиняется второму закону Ньютона

Проецируем на ось 0x

(1)

Вращательное движение подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения относительно оси

,

где .

Тогда

. (2)

Подставим (2) в (1)

,

откуда

. (3)

Рис. к задаче 9.5.

Запишем уравнение кинематики поступательного движения

.

Следовательно

.

С учётом (3)

.

После подстановки числовых значений

(с).

Ответ: 1,1 с.

9.6.С какой силой по модулю P следует прижать тормозную колодку к ободу колеса (См. рис.), делающего n₀ = 30 об/с, для его остановки в течение

t = 20 с, если масса колеса равномерно распределена по ободу и равна m = 10 кг, а диаметр колеса равен

d = 20 см? Коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен m = 0,5.

Решение.

Угловое ускорение при равнопеременном вращении

. (1)

Момент инерции колеса

. (2)

Момент касательной силы

.

Сила трения

.

Тогда

. (3)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

,

или с учетом (1), (2), (3)

.

Произведём вычисления

(H).

Ответ:18,85 Н.

Поиск по сайту: