 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕСтр 1 из 2Следующая ⇒
Б.И. ГЕРАСИМОВ, Н.П. ПУЧКОВ, Д.Н. ПРОТАСОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ¨Издательство ГОУ ВПО ТГТУ¨ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» Б.И. ГЕРАСИМОВ, Н.П. ПУЧКОВ, Д.Н. ПРОТАСОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Утверждено Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов 2 курса специальностей 080105, 080109 всех форм обучения Тамбов Издательство ГОУ ВПО ТГТУ УДК 330.4 (075.8) ББК У.в631я73 Г371 Реценз енты: Доктор физико-математических наук, профессор С.М. Дзюба Доктор экономических наук, профессор В.И. Абдукаримов Герасимов, Б.И. Г371 Дифференциальные динамические модели : учебное пособие / Б.И. Герасимов, Н.П. Пучков, Д.Н. Протасов. – Тамбов : Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. – 80 с. – 100 экз. – ISBN 978-5-8265-0947-0. Рассмотрены методология и инструментарий основных экономико- математических методов и построенных на их основе дифференциальных динамических моделей, которые могут быть использованы в рыночной экономике и управлении для повышения их эффективности. Приведены практические рекомендации по использованию математического моделирования для решения оптимизационных задач методами дифференциального и динамического моделирования. Предназначено для студентов 2 курса специальностей 080105, 080109 всех форм обучения. УДК 330.4 (075.8) ББК У.в631я73 ISBN 978-5-8265-0947-0 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ГОУ ВПО ТГТУ), 2010 Учебное издание ГЕРАСИМОВ Борис Иванович, ПУЧКОВ Николай Петрович, ПРОТАСОВ Дмитрий Николаевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Учебное пособие Редактор Л.В. Комбарова Инженер по компьютерному макетированию И.В. Евсеева Подписано в печать 19.10.2010 Формат 60 ´ 84 /16. 4,65 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 492 Издательско-полиграфический центр ГОУ ВПО ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14 ВВЕДЕНИЕ В последние столетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Недооценка применения математических методов в гуманитарных науках была характерной, по-видимому, для большей части XX в. Так, например, выдающийся английский экономист А. Маршалл не видел особых преимуществ в использовании математики в экономических исследованиях. Рассуждая о значении математики для экономической науки, он в своём фундаментальном труде, написанном около ста лет тому назад, отмечал, что «подготовка в области математики полезна тем, что она позволяет овладеть максимально сжатым и точным языком для ясного выражения некоторых общих отношений и некоторых коротких процессов экономических рассуждений, которые действительно могут быть выражены обычным языком, но без равноценной чёткости схемы». Несмотря на эти слова, А. Маршалл в своих работах широко использовал аппарат дифференциального исчисления, в то время как К. Маркс ограничивался в своих работах преимущественно арифметическими примерами. Экономика и управление – это прикладные науки, и их важная практическая задача заключается в использовании методов обоснования и выбора тех или иных решений. В общем случае для научного познания любого явления или процесса можно пользоваться в качестве инструментариев такими четырьмя методами: теоретическим анализом; наблюдением; научным экспериментом; моделированием. Если первые три подхода успешно используются, например, в технических науках, то на долю экономики и управления выпадает последнее (за исключением наблюдения, используемого в статистике). Объяснить это можно тем, что экономические процессы достаточно длительны. Для сбора необходимого для теоретического анализа статистического материала часто необходимы годы и десятилетия, из-за этого усложняется проявление действующих закономерностей и влияние многочисленных отдельных факторов. То же имеет отношение и к научному эксперименту, чтобы результаты были достоверны и надёжны, экономический эксперимент должен быть длительным и многомасштабным. Таким образом, в распоряжении экономистов и менеджеров остаётся только одно – моделирование экономических явлений и процессов. Здесь имеется в виду не масштабное физическое моделирование, как в технических науках (модели судов, которые испытываются в исследовательских бассейнах, модели самолётов, которые продуваются в аэродинамических трубах, и т.п.), что для экономики и управления нереально, а аналоговое и, прежде всего, математическое моделирование. В последние 20 – 30 лет ситуация стала меняться существенным образом, причём не только в экономике, но и в социологии, истории, психологии и других областях обществознания. Это в большой степени связано с тем, что, как оказалось, многие результаты анализа социально-экономических процессов не могут быть получены без использования математических моделей, несмотря на то, что после осмысления эти результаты выражаются и интерпретируются на обычном языке и зачастую становятся «очевидными» и «само собой разумеющимися». Применение метода математического моделирования в экономике – объективный этап её развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей и возможностью формализованного описания многих, хотя и далеко не всех, экономических процессов. Согласно современным представлениям, развитие всех наук происходит фактически по единой схеме, которая включает несколько периодов. А.А. Дородницын выделял следующие четыре: описательный период; период упорядочения и систематизации накопленной информации; период выявления и установления связей и соотношений; «точный» период, в котором широко используется метод математического моделирования для анализа различных объектов этой науки. В настоящее время к точным наукам относят математику и науки физического цикла (механику, термодинамику, квантовую механику и др.). Все остальные науки до сих пор остаются преимущественно описательными, хотя многие из них, в том числе биология, экономика, социология и история используют математические методы анализа. Например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические модели развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модели взаимодействия народа и правительства и др. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 1.1. ИЗ ИСТОРИИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ__Несмотря на то, что задачи естествознания служили основными побудительными толчками, способствующими развитию математики, параллельно развивались приложения математики в социально-экономических науках. Возникающие здесь задачи вызвали разработку нового математического инструментария, что в конечном итоге привело к формированию таких разделов математики, как линейное и нелинейное программирование, теория массового обслуживания, теория игр и др. Многие современные понятия экономики имеют большую историю. Например, попытки построить функцию полезности на основе наблюдений за реакцией индивидуумов на вероятностные ситуации восходят к статье Д. Бернулли (1738) о Санкт-Петербургском парадоксе. В этой работе был обоснован принцип снижающейся предельной полезности. Считается, что математические методы в экономике, как метод анализа макроэкономических процессов, начали использоваться ещё в XVIII в. Опубликовав работу «Экономические таблицы», французский экономист лейб-медик короля Людовика XV доктор Франсуа Кене впервые сделал попытку формализовать процесс общественного воспроизводства. В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. В дальнейшем К. Марксом было осуществлено научное обоснование этого процесса за счёт создания схем воспроизводства, которые имели большое влияние на развитие экономической науки. Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено О. Курно в книге «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. В частности, была построена и исследована динамическая модель дуополии. О вкладе О. Курно в развитие математического моделирования экономических процессов, а также о препятствиях, ограничивающих распространение этого метода, замечательно сказал в предисловии своей книги «Принципы экономической науки» А. Маршалл: «... когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать своё излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно». В последующие годы происходила интенсивная математизация экономической теории. Например, в книге У. Джевонса «Краткое описание общей математической теории политической экономии» (1862) понятие полезности было использовано для формализованного описания поведения потребителя. В конце XIX в. были разработаны и начали использоваться статистические методы, которые составили предпосылки к возникновению новой науки – эконометрии, представляющей собой одно из ответвлений экономико-математических методов по изучению количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического анализа и математической статистики. Возникают такие направления математико- статистического исследования, как статистические методы парной и множественной регрессии, теории корреляции, проверки гипотез, теории ошибок, выборочного исследования (английские учёные Ф. Гальтон, Р. Гамильтон, К. Пирсон, американский исследователь Р. Фишер и др.). Впервые представители школы К. Пирсона начали изучать корреляции в биологии и строить линейные регрессии. О значении метода математического моделирования в работах по исследованию экономических процессов, выполненных во второй половине XIX в., лучше всего говорит следующий факт: среди выдающихся экономистов этого периода «... только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики». В начале XX в. трудами английского статистика Гукера с помощью методов корреляционно-регрессионного анализа, основанных школой К. Пирсона, начали изучаться взаимозависимости между экономическими показателями. В этот период появляются работы по развитию методов математической статистики и применению этих методов в экономическом анализе (исследование Мура, работы И. Кобба и П. Дугласа о производственной функции как одной из первых эконометрических моделей и др.). Именно эти труды стали основой современной эконометрии. К началу XX в. усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджворта и других классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык. Поэтому начало XX в. можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике, как науке. В 1910 г. львовским учёным П. Чомпой в его книге «Очерки эконометрии и естественной бухгалтерии, которая основывается на политической экономии», а позже независимо от него норвежским учёным Р. Фришем (1926) предложен термин «эконометрия» как наука об измерениях в экономике. Осмысление важности управления рисками как способами стабилизации производства началось в начале XX в. благодаря работам английского экономиста А. Маршалла, американских экономистов Д.М. Кейнса, Ф.Х. Найта и других, поставивших на научную основу изучение личного, предпринимательского, финансового рисков. Расширение использования математических методов в экономике способствовало развитию системного подхода. Например, Л. Вальрас считал, что все социальные явления – религия, политика, экономика и духовная жизнь – тесно связаны между собой. Это соответствует современному пониманию того, что экономика является подсистемой целостной системы социально-экономических отношений, вследствие чего изучение собственно экономики и предсказание траектории её развития на перспективу должно опираться на анализ объекта более общей природы – социально-экономической системы. Усложнение в XX в. проблем экономики и управления вызвало дальнейшее развитие методов их анализа. В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем как на микро-, так и макроуровнях, опирающаяся на системный подход. Использование принципа системности, без которого невозможно эффективное управление, включает, наряду с содержательным анализом изучаемых процессов, применение метода математического моделирования. Если исследование отдельных экономических проблем в XIX в., в частности процесса расширенного общественного воспроизводства, основывалось преимущественно на соотношениях алгебры, то в начале XX в. при общем анализе динамики экономической системы находят применение и такие разделы высшей математики, как линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление. Но такой подход имел отношение, преимущественно, в исследовании общих глобальных характеристик экономической системы. Между тем практические потребности диктовали необходимость не только в глобальных, но и в более конкретных экономических показателях и характеристиках. Это привело к созданию в 20-е гг. XX в. в СССР системы межотраслевого баланса, которая является непосредственным продолжением схем воспроизводства. Был составлен первый в мире баланс народного хозяйства СССР на 1922 – 1924 гг., проведён ряд исследований по моделированию процесса расширенного воспроизводства и использования статистической теории в изучении хозяйственной конъюнктуры и прогнозировании. Отечественные разработки межотраслевого баланса повлияли на работы американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева (позже лауреата Нобелевской премии по экономике в 1973 г.). Разработанная В.В. Леонтьевым модель межотраслевого баланса о производстве и распределении продукции в США вошла в литературу под названием метода анализа экономики «расходы – выпуск». Математизация экономической науки в XX в. осуществлялась представителями многих стран, в том числе и России, где вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания научной общественности. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода многие результаты, полученные российскими математиками-экономистами, стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ Е. Слуцким модели поведения потребителя; открытие Н. Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923–1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В. Леонтьева; развитие Л. Канторовичем методов исследования линейных систем. В начале 30-х гг. XX в. эконометрия становится отдельной отраслью науки после основания эконометрического общества в США, которое определило себя как «Международное общество для развития экономической теории и её связи со статистикой и математикой». В 30-е гг. Я. Тинбергеном, Л. Клейном, Р. Стоуном были разработаны модели экономики, какие описываются системой многих уравнений, так называемой системой одновременных уравнений в эконометрии. В середине 30-х гг. американским математиком Дж. фон Нейманом была сконструирована одна из первых макроэкономических математических моделей экономической динамики, которая вошла в литературу под названием модели Неймана расширенной экономики (1937). Посвящённая реализации оптимального планирования и управления, модель представляла собой одну из первых задач получения наилучших решений, т.е. задач математического программирования. Математическое программирование – это направление прикладной математики по решению задач получения оптимума (максимума или минимума) некоторой функции, которая является целью рассматриваемой задачи (поэтому она называется целевой функцией), при наличии ограничений на переменные. Термин «программирование» здесь употребляется не в смысле программирования на ЭВМ, хотя решение задач математического программирования большой размерности невозможно без ЭВМ, а ввиду получения наилучшего (оптимального) плана или программы работы конкретного экономического объекта. Невзирая на неудачное название термина, он сохранился до нашего времени в силу широкого распространения в мире. Более простое, а потому и наиболее разработанное ответвление математического программирования – линейное программирование. Оно получило широкое распространение и использование в экономической практике и заключается в поиске оптимального решения. В 70 – 90-х гг. экономико-математическое моделирование стало признанным средством анализа экономических проблем. В отечественной практике в 70-х гг. появляются автоматизированные системы управления (АСУ), предназначенные для оптимизации управления сложными производственными процессами и экономическими системами. В конце 80-х гг. много передовых корпораций разных отраслей начали интересоваться вопросами учёта рисков, которые стали важной функцией менеджмента. Конец XX – начало XXI в. знаменуется в мире высокими темпами развития теории и практики экономико- математического моделирования. Нобелевскими лауреатами по экономике становятся, как было отмечено ранее, В.В. Леонтьев (1973) и Л.В. Канторович (1975). Нобелевской премией по экономике в 1983 г. награждается Ж. Дебре, который работал в отрасли математизации экономической теории, а в 2000 г. – Дж. Хекман и Д. Мак-Фадден за разработку микроэконометрии и методов статистического анализа и др. В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растёт роль экономико-математического моделирования как одного из средств совершенствования экономики с научно обоснованными путями последующего развития и прогнозами на будущее в рыночных условиях. К обьективным проблемам, ограничивающим эффективность применения метода математического моделирования при анализе социально-экономических процессов, следует отнести исключительное разнообразие и разнородность объектов моделирования: в этой области имеют место элементы управляемости и стихийности, детерминированности и существенной неоднозначности, сочетание процессов технического (производственного) и социального характера. Поэтому до сих пор не существует окончательно сформировавшегося подхода к анализу и прогнозированию процессов рыночной экономики, вследствие чего расчёты носят преимущественно оценочный характер. Отметим ещё одно из препятствий. Рекомендации и выводы, полученные на основе анализа адекватной модели, могут оказаться невостребованными на практике по следующей причине: управленец при принятии решения может предпочесть опереться на интуицию и даже иметь нерешённую проблему, чем использовать модели, в которых он ничего не понимает, и стать, таким образом, заложником разработчика-математика. Нобелевский лауреат по экономике В. Леонтьев отмечал, что негативному отношению к математическим методам анализа при принятии решений служит: «...пренебрежение академической экономической наукой упорным, систематическим, эмпирическим анализом и увлечение изящными, но пустыми, формальными, главным образом математическими, теоретическими «упражнениями». В этой связи следует сказать следующее. В основе двух полярных направлений математического моделирования (аксиоматической теоретической математической экономики, с одной стороны, и прикладных социально-экономических исследований, с другой) лежат одни и те же базовые теоретические модели экономики. Поэтому эффективность применения математического моделирования связана, прежде всего, с пониманием допущений, используемых при построении этих моделей, которые и определяют пределы их применимости. Слабое представление о возможностях метода моделирования, о пределах применимости той или иной модели приводит к следующему. Реакцией на несоответствие ожиданий и конкретных результатов социально-экономической политики, полученных на основе анализа неадекватных моделей, зачастую служат эмоциональные выводы такого рода: «экономические законы в России не действуют», «умом Россию не понять», «моделирование в наших условиях бессмысленно» и т.д. Но ведь это всё равно, что рассчитывать траекторию движения баллистической ракеты по формуле из школьной задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, а потом возмущаться расхождением теории и практики! О неудовлетворённости исследователей, не только отечественных, но и зарубежных, тем, в какой степени используются их аналитические разработки при принятии управленческих решений, свидетельствует следующее, весьма горькое, высказывание П. Самуэльсона: «...экономический анализ и экономическая действительность – это два разных мира, и лучшее, что можно посоветовать экономистам, – это продолжать двигать вперёд логику и теорию своей науки. А для того, чтобы избежать крушения надежд или повальной шизофрении, целесообразнее всего удалиться в стены академий и работать здесь ради одной лишь достойной награды – самоодобрения исследователя». Да, конечно, применение метода математического моделирования при анализе конкретных экономических процессов – не панацея, его возможности достаточно ограничены. Это не механика, здесь всё гораздо сложнее. И если, например, расчёты траектории той же баллистической ракеты, выполненные на основе достаточно совершенной математической модели динамики полёта, всё равно требуют введения поправочных коэффициентов, учитывающих влияние неучтённых факторов (скорости ветра, рельефа местности и т.д.), то в экономике число факторов, влияющих на отклонение теоретических выводов от реальности, не только слишком велико, но многие из них в принципе оказываются неформализуемыми. Поэтому, говоря о пределах применимости метода математического моделирования при обосновании управленческих решений, уместно вспомнить слова американского математика Т. Саати, сказавшего об исследовании операций, что это «...искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются ещё более плохие ответы другими способами». А.А. Самарский, основатель и первый директор Института математического моделирования РАН, отмечает, что математическое (компьютерное) моделирование представляет собой развитие и обобщение естественнонаучных методов исследования, соединённых с современной информационной технологией. В случае использования метода математического моделирования процесс познания и управления выражается с помощью следующей схемы: объект-модель – алгоритм-программа – ЭВМ – управление объектом. А поскольку модель – главное звено этой схемы, то разработка адекватной математической модели и последующее экспериментирование с нею на ЭВМ может обеспечить органичное сочетание сильных сторон теоретических методов и натурных экспериментов. В полной мере сказанное относится к применению математического моделирования в области анализа социально- экономических процессов, где значение вычислительных экспериментов (многовариантных расчётов) ещё более возрастает. Последнее обусловлено тем, что в этих областях науки проведение натурных экспериментов либо сильно ограничено, либо невозможно из-за необратимости изучаемых процессов, а использование интуиции и плохо обоснованных прогнозных оценок нередко приводит к неожиданным результатам, которые характеризуются известным современным афоризмом «хотели как лучше, а получилось как всегда». 1.2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИНесмотря на то, что задачи естествознания служили основными побудительными толчками, способствующими развитию математики, параллельно развивались приложения математики в социально-экономических науках. Возникающие здесь задачи вызвали разработку нового математического инструментария, что в конечном итоге привело к формированию таких разделов математики, как линейное и нелинейное программирование, теория массового обслуживания, теория игр и др. Многие современные понятия экономики имеют большую историю. Например, попытки построить функцию полезности на основе наблюдений за реакцией индивидуумов на вероятностные ситуации восходят к статье Д. Бернулли (1738) о Санкт-Петербургском парадоксе. В этой работе был обоснован принцип снижающейся предельной полезности. Считается, что математические методы в экономике, как метод анализа макроэкономических процессов, начали использоваться ещё в XVIII в. Опубликовав работу «Экономические таблицы», французский экономист лейб-медик короля Людовика XV доктор Франсуа Кене впервые сделал попытку формализовать процесс общественного воспроизводства. В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. В дальнейшем К. Марксом было осуществлено научное обоснование этого процесса за счёт создания схем воспроизводства, которые имели большое влияние на развитие экономической науки. Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено О. Курно в книге «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. В частности, была построена и исследована динамическая модель дуополии. О вкладе О. Курно в развитие математического моделирования экономических процессов, а также о препятствиях, ограничивающих распространение этого метода, замечательно сказал в предисловии своей книги «Принципы экономической науки» А. Маршалл: «... когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать своё излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно». В последующие годы происходила интенсивная математизация экономической теории. Например, в книге У. Джевонса «Краткое описание общей математической теории политической экономии» (1862) понятие полезности было использовано для формализованного описания поведения потребителя. В конце XIX в. были разработаны и начали использоваться статистические методы, которые составили предпосылки к возникновению новой науки – эконометрии, представляющей собой одно из ответвлений экономико-математических методов по изучению количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического анализа и математической статистики. Возникают такие направления математико- статистического исследования, как статистические методы парной и множественной регрессии, теории корреляции, проверки гипотез, теории ошибок, выборочного исследования (английские учёные Ф. Гальтон, Р. Гамильтон, К. Пирсон, американский исследователь Р. Фишер и др.). Впервые представители школы К. Пирсона начали изучать корреляции в биологии и строить линейные регрессии. О значении метода математического моделирования в работах по исследованию экономических процессов, выполненных во второй половине XIX в., лучше всего говорит следующий факт: среди выдающихся экономистов этого периода «... только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики». В начале XX в. трудами английского статистика Гукера с помощью методов корреляционно-регрессионного анализа, основанных школой К. Пирсона, начали изучаться взаимозависимости между экономическими показателями. В этот период появляются работы по развитию методов математической статистики и применению этих методов в экономическом анализе (исследование Мура, работы И. Кобба и П. Дугласа о производственной функции как одной из первых эконометрических моделей и др.). Именно эти труды стали основой современной эконометрии. К началу XX в. усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджворта и других классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык. Поэтому начало XX в. можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике, как науке. В 1910 г. львовским учёным П. Чомпой в его книге «Очерки эконометрии и естественной бухгалтерии, которая основывается на политической экономии», а позже независимо от него норвежским учёным Р. Фришем (1926) предложен термин «эконометрия» как наука об измерениях в экономике. Осмысление важности управления рисками как способами стабилизации производства началось в начале XX в. благодаря работам английского экономиста А. Маршалла, американских экономистов Д.М. Кейнса, Ф.Х. Найта и других, поставивших на научную основу изучение личного, предпринимательского, финансового рисков. Расширение использования математических методов в экономике способствовало развитию системного подхода. Например, Л. Вальрас считал, что все социальные явления – религия, политика, экономика и духовная жизнь – тесно связаны между собой. Это соответствует современному пониманию того, что экономика является подсистемой целостной системы социально-экономических отношений, вследствие чего изучение собственно экономики и предсказание траектории её развития на перспективу должно опираться на анализ объекта более общей природы – социально-экономической системы. Усложнение в XX в. проблем экономики и управления вызвало дальнейшее развитие методов их анализа. В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем как на микро-, так и макроуровнях, опирающаяся на системный подход. Использование принципа системности, без которого невозможно эффективное управление, включает, наряду с содержательным анализом изучаемых процессов, применение метода математического моделирования. Если исследование отдельных экономических проблем в XIX в., в частности процесса расширенного общественного воспроизводства, основывалось преимущественно на соотношениях алгебры, то в начале XX в. при общем анализе динамики экономической системы находят применение и такие разделы высшей математики, как линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление. Но такой подход имел отношение, преимущественно, в исследовании общих глобальных характеристик экономической системы. Между тем практические потребности диктовали необходимость не только в глобальных, но и в более конкретных экономических показателях и характеристиках. Это привело к созданию в 20-е гг. XX в. в СССР системы межотраслевого баланса, которая является непосредственным продолжением схем воспроизводства. Был составлен первый в мире баланс народного хозяйства СССР на 1922 – 1924 гг., проведён ряд исследований по моделированию процесса расширенного воспроизводства и использования статистической теории в изучении хозяйственной конъюнктуры и прогнозировании. Отечественные разработки межотраслевого баланса повлияли на работы американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева (позже лауреата Нобелевской премии по экономике в 1973 г.). Разработанная В.В. Леонтьевым модель межотраслевого баланса о производстве и распределении продукции в США вошла в литературу под названием метода анализа экономики «расходы – выпуск». Математизация экономической науки в XX в. осуществлялась представителями многих стран, в том числе и России, где вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания научной общественности. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода многие результаты, полученные российскими математиками-экономистами, стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ Е. Слуцким модели поведения потребителя; открытие Н. Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923–1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В. Леонтьева; развитие Л. Канторовичем методов исследования линейных систем. В начале 30-х гг. XX в. эконометрия становится отдельной отраслью науки после основания эконометрического общества в США, которое определило себя как «Международное общество для развития экономической теории и её связи со статистикой и математикой». В 30-е гг. Я. Тинбергеном, Л. Клейном, Р. Стоуном были разработаны модели экономики, какие описываются системой многих уравнений, так называемой системой одновременных уравнений в эконометрии. В середине 30-х гг. американским математиком Дж. фон Нейманом была сконструирована одна из первых макроэкономических математических моделей экономической динамики, которая вошла в литературу под названием модели Неймана расширенной экономики (1937). Посвящённая реализации оптимального планирования и управления, модель представляла собой одну из первых задач получения наилучших решений, т.е. задач математического программирования. Математическое программирование – это направление прикладной математики по решению задач получения оптимума (максимума или минимума) некоторой функции, которая является целью рассматриваемой задачи (поэтому она называется целевой функцией), при наличии ограничений на переменные. Термин «программирование» здесь употребляется не в смысле программирования на ЭВМ, хотя решение задач математического программирования большой размерности невозможно без ЭВМ, а ввиду получения наилучшего (оптимального) плана или программы работы конкретного экономического объекта. Невзирая на неудачное название термина, он сохранился до нашего времени в силу широкого распространения в мире. Более простое, а потому и наиболее разработанное ответвление математического программирования – линейное программирование. Оно получило широкое распространение и использование в экономической практике и заключается в поиске оптимального решения. В 70 – 90-х гг. экономико-математическое моделирование стало признанным средством анализа экономических проблем. В отечественной практике в 70-х гг. появляются автоматизированные системы управления (АСУ), предназначенные для оптимизации управления сложными производственными процессами и экономическими системами. В конце 80-х гг. много передовых корпораций разных отраслей начали интересоваться вопросами учёта рисков, которые стали важной функцией менеджмента. Конец XX – начало XXI в. знаменуется в мире высокими темпами развития теории и практики экономико- математического моделирования. Нобелевскими лауреатами по экономике становятся, как было отмечено ранее, В.В. Леонтьев (1973) и Л.В. Канторович (1975). Нобелевской премией по экономике в 1983 г. награждается Ж. Дебре, который работал в отрасли математизации экономической теории, а в 2000 г. – Дж. Хекман и Д. Мак-Фадден за разработку микроэконометрии и методов статистического анализа и др. В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растёт роль экономико-математического моделирования как одного из средств совершенствования экономики с научно обоснованными путями последующего развития и прогнозами на будущее в рыночных условиях. К обьективным проблемам, ограничивающим эффективность применения метода математического моделирования при анализе социально-экономических процессов, следует отнести исключительное разнообразие и разнородность объектов моделирования: в этой области имеют место элементы управляемости и стихийности, детерминированности и существенной неоднозначности, сочетание процессов технического (производственного) и социального характера. Поэтому до сих пор не существует окончательно сформировавшегося подхода к анализу и прогнозированию процессов рыночной экономики, вследствие чего расчёты носят преимущественно оценочный характер. Отметим ещё одно из препятствий. Рекомендации и выводы, полученные на основе анализа адекватной модели, могут оказаться невостребованными на практике по следующей причине: управленец при принятии решения может предпочесть опереться на интуицию и даже иметь нерешённую проблему, чем использовать модели, в которых он ничего не понимает, и стать, таким образом, заложником разработчика-математика. Нобелевский лауреат по экономике В. Леонтьев отмечал, что негативному отношению к математическим методам анализа при принятии решений служит: «...пренебрежение академической экономической наукой упорным, систематическим, эмпирическим анализом и увлечение изящными, но пустыми, формальными, главным образом математическими, теоретическими «упражнениями». В этой связи следует сказать следующее. В основе двух полярных направлений математического моделирования (аксиоматической теоретической математической экономики, с одной стороны, и прикладных социально-экономических исследований, с другой) лежат одни и те же базовые теоретические модели экономики. Поэтому эффективность применения математического моделирования связана, прежде всего, с пониманием допущений, используемых при построении этих моделей, которые и определяют пределы их применимости. Слабое представление о возможностях метода моделирования, о пределах применимости той или иной модели приводит к следующему. Реакцией на несоответствие ожиданий и конкретных результатов социально-экономической политики, полученных на основе анализа неадекватных моделей, зачастую служат эмоциональные выводы такого рода: «экономические законы в России не действуют», «умом Россию не понять», «моделирование в наших условиях бессмысленно» и т.д. Но ведь это всё равно, что рассчитывать траекторию движения баллистической ракеты по формуле из школьной задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, а потом возмущаться расхождением теории и практики! О неудовлетворённости исследователей, не только отечественных, но и зарубежных, тем, в какой степени используются их аналитические разработки при принятии управленческих решений, свидетельствует следующее, весьма горькое, высказывание П. Самуэльсона: «...экономический анализ и экономическая действительность – это два разных мира, и лучшее, что можно посоветовать экономистам, – это продолжать двигать вперёд логику и теорию своей науки. А для того, чтобы избежать крушения надежд или повальной шизофрении, целесообразнее всего удалиться в стены академий и работать здесь ради одной лишь достойной награды – самоодобрения исследователя». Да, конечно, применение метода математического моделирования при анализе конкретных экономических процессов – не панацея, его возможности достаточно ограничены. Это не механика, здесь всё гораздо сложнее. И если, например, расчёты траектории той же баллистической ракеты, выполненные на основе достаточно совершенной математической модели динамики полёта, всё равно требуют введения поправочных коэффициентов, учитывающих влияние неучтённых факторов (скорости ветра, рельефа местности и т.д.), то в экономике число факторов, влияющих на отклонение теоретических выводов от реальности, не только слишком велико, но многие из них в принципе оказываются неформализуемыми. Поэтому, говоря о пределах применимости метода математического моделирования при обосновании управленческих решений, уместно вспомнить слова американского математика Т. Саати, сказавшего об исследовании операций, что это «...искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются ещё более плохие ответы другими способами». А.А. Самарский, основатель и первый директор Института математического моделирования РАН, отмечает, что математическое (компьютерное) моделирование представляет собой развитие и обобщение естественнонаучных методов исследования, соединённых с современной информационной технологией. В случае использования метода математического моделирования процесс познания и управления выражается с помощью следующей схемы: объект-модель – алгоритм-программа – ЭВМ – управление объектом. А поскольку модель – главное звено этой схемы, то разработка адекватной математической модели и последующее экспериментирование с нею на ЭВМ может обеспечить органичное сочетание сильных сторон теоретических методов и натурных экспериментов. В полной мере сказанное относится к применению математического моделирования в области анализа социально- экономических процессов, где значение вычислительных экспериментов (многовариантных расчётов) ещё более возрастает. Последнее обусловлено тем, что в этих областях науки проведение натурных экспериментов либо сильно ограничено, либо невозможно из-за необратимости изучаемых процессов, а использование интуиции и плохо обоснованных прогнозных оценок нередко приводит к неожиданным результатам, которые характеризуются известным современным афоризмом «хотели как лучше, а получилось как всегда». 1.2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ
Будущие специалисты по экономике и управлению должны свободно ориентироваться в принятии решений с использованием экономико-математических методов и построенных на их основе моделей, уметь реализовывать их с использованием соответствующего инструментария. Целью рассмотрения вопросов пособия является формирование системы знаний по методологии и инструментариям построения и использования разных типов экономико-математических моделей. Если между двумя объектами может быть установлено какое-либо сходство, то один из этих объектов может рассматриваться как оригинал, а другой – как модель. Отношения «оригинал–модель» могут иметь место и между различным числом объектов. Таким образом, модель – это условный образ объекта (в качестве которого могут выступать системы или понятия), формирующий представление о нём в некоторой форме, отличной от реального существования данного объекта. Модель какого-либо объекта отображает его основные характеристические свойства в некоторой абстрактной форме. Также модель может полностью или частично воспроизводить структуру, которая моделируется, систему и её функции. Аналоговая модель заменяет исследуемый объект аналогом, который ведёт себя как реальный объект, но не выглядит таким. Пример аналоговой модели – организационная схема управления предприятием. При её построении руководство представляет себе последовательность прохождения команд и формальную зависимость между индивидами и их деятельностью. Такая аналоговая модель является более простым и эффективным средством воспроизведения и проявления сложных взаимосвязей структуры крупного предприятия. Однако в экономике и управлении наиболее распространенными и эффективными являются математические модели. Экономико-математическое моделирование – это научное направление по фундаментальной, естественнонаучной и общеэкономической подготовке бакалавров по экономике и управлению. В этом направлении чётко реализуется одна из основных идей математической подготовки специалистов в вузе экономического направления – идея математического моделирования экономических явлений и процессов. Цель – это фундаментальное понятие, потому что экономическая деятельность всегда целенаправлена. Под целью понимают желаемый результат, который должен быть достигнутым. Альтернативы – возможны варианты мероприятий, на основании которых принимается решение. Таких вариантов может быть несколько. Альтернативы могут быть дискретными или непрерывными. Количество дискретных альтернатив конечно: например, заменить определённый вид оборудования или нет (в данном случае альтернативы две). Альтернативы могут выбираться на непрерывном множестве: например, заменить оборудование данного вида (через день, два, неделю, месяц, год и т.д.); тогда количество альтернатив бесконечно, и под решением понимают выбор одной альтернативы из множества возможных. Система – это множественное число взаимосвязанных элементов, которые составляют определённое единство. Элемент системы – часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, является неделимой. Сложная система – это множество разных структур и элементов этих структур. Подсистема – часть системы, которая выделена с определённой целью; может рассматриваться как самостоятельная система. Системный подход – главный научный принцип исследования систем в кибернетике, согласно которому необходимо учитывать взаимосвязи между элементами системы, между системой и внешней средой, между состоянием системы в данное время и в будущем. Основное понятие в кибернетике. Моделирование – процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней. Математическая модель – это описание исследуемого экономического явления или процесса с помощью абстрактных математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике и управлении позволяет сделать более глубоким количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчёты. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является более дешёвым, занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием, которое используется в технике (т.е. имеет ту же природу, что и оригинал). Более того, целый ряд экономических систем невозможно изобразить с помощью физических моделей. Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений. Гомоморфизм – понятие математики и логики, обозначающее такое соотношение между двумя системами, при котором: – каждому элементу и каждому отношению между элементами соответствует один элемент и одно отношение между элементами другой системы; – при выполнении некоторого отношения между элементами первой системы выполняется соответствующее отношение между соответствующими элементами второй системы. Принято говорить, что вторая система (как совокупность элементов и отношений) представляет собой гомоморфный образ (модель) первой системы, называемой оригиналом. Реальная система может иметь различные гомоморфные ей модели. Понятие гомоморфизма является фундаментальным теоретическим обоснованием моделирования, в том числе и экономико- математического. Экономико-математическая модель, включает в себя систему уравнений и неравенств математического описания экономических процессов и явлений, которые состоят из набора переменных и параметров, с целью его исследования и управления. Переменные величины характеризуют, например, объём выработанной продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п. Переменные разделяются на две группы: объясняющие (независимые), которые являются заранее заданными и независимыми; объясняемые (зависимые), которые являются результативными показателями. Переменные величины могут быть двух групп: внешние переменные (экзогенные), когда они определяются вне данной модели и считаются для модели заданными; внутренние переменные (эндогенные), которые определяются в результате исследования данной модели. Параметры – это численные признаки показателей, такие, как нормы расходов сырья, материалов, времени на производство и т.п. Во всех случаях необходимо, чтобы модель имела достаточно детальное описание объекта, которое позволяло бы осуществлять измерение экономических величин и определять их взаимосвязь, чтобы были выделены факторы, влияющие на исследуемые показатели. Эконометрическая модель – разновидность экономико-математической модели, параметры которой оцениваются с помощью методов математической статистики. Одним из основных подходов в измерении связи между исследуемыми показателями в эконометрической модели является корреляционно-регрессионный анализ. Он представляет собой комплекс методов, с помощью которых определяется вид уравнения для описания исследуемых показателей и производится расчёт их параметров (регрессионный анализ), а также устанавливается теснота и значимость связи между переменными в уравнении или уравнениях (корреляционный анализ). Экономико-математические методы – обобщённое название комплекса экономико-математических подходов, объединённых для изучения экономики и управления и предназначенных для построения, реализации и исследования экономических моделей. Процесс моделирования пока ещё не алгоритмизирован по причинам огромной сложности логического построения и математического описания этой работы. Однако в практике моделирования выработаны определённые принципы, которыми необходимо пользоваться и которые будут рассмотрены ниже. Динамическая система – всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты). Процесс их изменения характеризуется траекторией: Q(t) = [g1(t), g2 (t), ..., gn (t)], где координаты g1(t), g2 (t), ..., gn (t) являются функциями времени t . Среди таких систем наиболее просты линейные динамические системы, в которых связи между входными величинами, параметрами состояния и выходными величинами носят характер линейных зависимостей. В экономико-математических моделях динамические системы могут отражаться двояко: во-первых, с помощью описания состояния системы в определённые моменты времени; получаются как бы моментальные снимки (или, лучше, кадры фильма о её развитии), называемые статическими моделями. Во-вторых, с помощью динамических моделей экономики, описывающих сам процесс развития системы. Примером первого вида моделей служит межотраслевой баланс (статический), примерами второго – динамические модели межотраслевого баланса, модели теории экономического роста. Динамические модели экономики – модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих её состояние в определённый момент). Модель является динамической, если как минимум одна её переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные. Существуют два принципиально различных подхода к построению таких моделей. Первый подход – оптимизационный. Оптимизационная модель позволяет из нескольких альтернативных вариантов выбрать наилучший вариант по любому признаку. Он состоит в выборе из числа возможных траекторий (путей) экономического развития оптимальной траектории (например, обеспечивающей наибольший объём фонда потребления за плановый период). Второй подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе. В этом случае, переходя к экономической динамике, используют понятие «равновесная траектория» (т.е. уравновешенный, сбалансированный экономический рост), которая представляет собой результат взаимодействия множества ячеек экономической системы. В общем виде динамические модели сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый «способ» говорит о том, что из набора ресурсов х можно в течение единицы времени произвести набор продуктов у), а также (при первом из названных подходов) – критерия оптимальности. Используемые в реальной динамической модели временные ряды содержат три элемента – тренд, сезонные переменные и случайную переменную (остаток), во многих моделях рыночной экономики выделяется ещё одна составляющая – циклическая. В качестве экзогенных величин могут выступать, например, выявленные статистическим путём макроэкономические зависимости, сведения о демографических процессах и т.п.; в качестве эндогенных величин – темпы роста, показатели экономической эффективности и др. Математическое описание динамических моделей производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений. С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, её состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов. Если модель и объект моделирования имеют некоторые общие свойства, то возникает возможность изучения объекта на основании исследования свойств соответствующей модели. При этом в зависимости от конкретной цели модель может быть более или менее точной. Например, при анализе аэродинамических свойств автомобиля существенно, чтобы форма модели соответствовала форме этого автомобиля, а при проектировании гаража в качестве модели автомобиля достаточно использовать параллелепипед, так как в этом случае достаточно знать лишь его геометрические размеры – длину, ширину и высоту. Частным видом моделей являются математические модели, которые отражают объект (процесс) с помощью математической символики. Исследование изучаемого объекта (процесса) на основе изучения свойств его математической модели составляет суть метода математического моделирования. При этом, как правило, при анализе сложных процессов невозможно ограничиться аналитическими методами: требуется разрабатывать компьютерные модели и привлекать вычислительную технику для выполнения вычислительных экспериментов с моделью. В развитие этого направления исследований существенный вклад внесли и российские учёные: А.А. Дородницын, Л.В. Канторович, М.В. Келдыш, Н.Н. Моисеев, В.С. Немчинов, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов и др. Важнейшую роль при использовании метода математического моделирования играет информация. Об этом говорит, например, определение модели, данное Н.Н. Моисеевым: «Под моделью мы будем понимать упрощённое, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определённую, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его отдельные свойства. Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя её, может приобрести». Это определение отражает следующий существенный факт: применение метода математического моделирования может быть эффективным лишь тогда, когда в модели будет «закодирована» информация, которую исследователи до её анализа не знали. 1.3. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ В настоящее время сфера возможного использования экономико-математических методов и моделей в планировании и управлении значительна, и с каждым годом она расширяется, но область их фактического использования на практике связана с такими трудностями, как: • сложность моделирования экономических процессов и явлений с учётом производственных отношений (поведения людей, их интересов, индивидуального принятия решения и др.); • необходимость «встраивания» математических моделей в существующую систему планирования и управления; • трудности проверки в решении новых социально-экономических задач и т.п. К эффективным средствам преодоления этих трудностей можно отнести такие: • имитационное моделирование, которое даёт возможность руководителю, принимающему решения, с помощью ПК включиться в процесс построения экономико-математической модели с принятием оптимального решения на её основе (главный принцип имитационного моделирования: «Что будет, если ...»); • системный анализ, который допускает комплексное проведение исследования экономических процессов с учётом всех существующих элементов и их взаимосвязей, изучения отдельных хозяйственных объектов как структурных частей более общих систем, выявления роли каждого из них в функционировании экономического процесса в целом; • программно-целевой метод планирования, основанный на формировании целей и подцелей экономического развития, на которые нужно направить наибольшие силы и средства, и разработке программ их достижения. Рассмотрим вопрос о классификации экономико-математических моделей, что имеет немаловажное методологическое значение. Существует несколько классификаций экономико-математических моделей. С нашей точки зрения, экономико- математические модели можно классифицировать по таким признакам: 1) назначению; 2) степени вероятности; 3) способу описания; 4) способу учёта измены процесса по времени; 5) точности математического отображения рассматриваемых явлений. По назначению модели целесообразно разбить на четыре класса: имитационные; балансовые; сетевые; оптимизационные. По степени вероятности модели разделяются на два типа: вероятные (стохастические), параметры которых и внешние изменения носят случайный характер; детерминированные, в которых игнорируется случайный характер изменения параметров. По способу описания модели делятся на три класса: аналитические, в которых показатели описываются математическими формулами или системой формул; эконометрические (статистические), которые предназначены для анализа и прогнозирования рассматриваемых экономических явлений в условиях неопределённости исходных данных и реализуются методами математической статистики; смешанные, в которых наиболее простые блоки описываются аналитическими зависимостями, а в других блоках, где описание аналитическими формулами может привести к значительным искажениям, используется эконометрическое моделирование. По способу учёта изменения процесса по времени модели разделяются на три класса: статические, в которых предусматривается, что входные параметры не изменяются по времени; многошаговые, в которых время протекания процесса делится на «шаги» (интервалы) и в рамках одного шага процесс рассматривается статическим; динамические, где учитывается непрерывное изменение времени. По точности математического отображения рассматриваемых явлений модели делятся на две группы: линейные, зависимости в которых имеют переменные у первой степени и не включают их обратных величин и произведение переменных; нелинейные. Экономико-математические модели отражают наиболее существенные, с точки зрения исследователя, свойства реального экономического объекта (явления, процесса) с помощью того или иного математического аппарата. Все существующие экономико-математические модели можно разделить в зависимости от критерия классификации на различные группы. Например, по степени агрегирования объектов исследования все экономические модели можно представить как объединение моделей микроэкономики и моделей макроэкономики. Можно выделить следующие основные классы экономико-математических моделей: 1. Макроэкономические модели рассматривают экономику как единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость и т.д. Эти модели, абстрагируюсь от поведения отдельных экономических элементов (таких, как домашние хозяйства и фирмы), а также от различий между отдельными рынками, используются для анализа и прогнозирования целостной экономической системы. 2. Микроэкономические модели описывают поведение основных элементов (структурных и функциональных составляющих) экономической системы и различных форм взаимодействия этих элементов при заданных условиях (уровень рыночной ставки %, инфляция, безработица и т.д.). Эти условия, в свою очередь, оказывают серьёзное влияние на поведение основных элементов системы. Наиболее серьёзные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании были получены при изучении олигополии с использованием аппарата теории игр. К моделям микроэкономики относятся модели, в которых рассматриваются экономические процессы на «нижнем» уровне – на уровне покупателя, продавца, производителя продукции (предприятия). К основным моделям этого класса традиционно относят следующие:<
Поиск по сайту: |