Геометрическая интерпретация первообразной

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке .

Рис. 1.2.

Рассмотрим криволинейную трапецию , изображённую на рис. 1.2. Определим на отрезке функцию следующим образом: каждому значению поставим в соответствие величину площади криволинейной трапеции , заключённой между начальной ординатой и ординатой, отвечающей значению .

Найдём производную функции . Придадим переменной некоторое приращение : , . В силу непрерывности функция достигает на отрезке своих наименьшего и наибольшего значений. Очевидно, площадь заключена между площадями прямоугольников, построенных на основании и имеющих высоты и , т.е.

, откуда .

Если значения и будут изменяться и в силу непрерывности функции Поэтому

.

Итак,

	первообразная непрерывной функции есть переменная площадь

Среди первообразных функции на отрезкепервообразнаявыделяется тем, что она обращается в в точке . Поэтому

В частности, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

(1.3)

Пример 1.4. Вычислить площадь криволинейного треугольника, заштрихованного на рис. 1.3.

Рис.1.3.

Решение. Первообразная функции есть функция

Используя формулу (1.3), получим

Отсюда следует, что площадь параболического сегмента равна т.е. двум третям площади описанного прямоугольника .

Замечание 1.2. В связи с тем, что между вычислением интегралов и вычислением площадей плоских фигур – квадратурой – существует связь, вычисление интегралов тоже принято называть квадратурой.

1.8. Простейшее дифференциальное уравнение. Задача Коши

Одна из задач интегрального исчисления – задача нахождения первообразной данной функции. Обозначим данную функцию через , искомую функцию – через . Тогда задача нахождения первообразной может быть записана в виде уравнения:

Простейшее дифференциальное уравнение.

Если - непрерывная на промежутке функция, то уравнение имеет бесчисленное множество решений:

.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой.Если некоторая интегральная кривая, то все остальные могут быть получены из неё простым сдвигом вдоль оси на произвольный отрезок .

Пусть точка , - произвольное число. Поставим задачу: найти решение уравнения такое, что

Эту задачу называют задачей Коши, или начальной задачей. Числа называют начальными значениями величин ; условие - начальным условием.

Итак,

Простейшая задача Коши.

Начальное условие

В силу следствия 1.3 решение задачи Коши единственно. Решить задачу Коши – значит среди бесконечного множества интегральных кривых выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Пример 1.5. Решим задачу Коши:

.

Решение. Здесь . Очевидно, что Решение задачи Коши состоит в том, чтобы среди бесконечного множества интегральных кривых найти кривую, проходящую через точку . Подставим в равенство начальные данные: Получим равенство: . Отсюда следует, что Итак, – искомое решение (решение задачи Коши).

Поиск по сайту: