Інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду)

Нехай функція визначена на проміжку та інтегрована на будь-якому відрізку , де . Тоді, якщо існує скінчена границя , її називають невласним інтегралом першого роду і позначають . Таким чином, за означенням

.

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а підінтегральну функцію - інтегрованою на проміжку . Якщо ж границя не існує або нескінченна, то інтеграл називається також невласним, але розбіжним.

Аналогічно визначається невласний інтеграл на проміжку :

,

а також

,

де - довільне дійсне число.

Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду

Ознака порівняння

Якщо на проміжку функції і неперервні та задовольняють умову , то із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності інтеграла випливає розбіжність інтеграла .

Гранична ознака порівняння

Якщо існує границя

, , , ,

то інтеграли і або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

3, Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл збігається, то збіжним є і інтеграл , причому в цьому випадку він називається абсолютно збіжним.

.

Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду)

Нехай функція визначена на проміжку . Точку назвемо особливою точкою функції , якщо при . Нехай функція інтегрована на відрізку при довільному такому, що . Тоді, якщо існує скінчена границя

,

то її називають невласним інтегралом другого родуі позначають . Отже, за визначенням

.

У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує, або збігається. Якщо границя нескінченна або не існує, то інтеграл також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно, якщо - особлива точка, то

.

Якщо необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки , то

.

Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду аналогічні подібним ознакам для невласних інтегралів першого роду.

Обчислити значення невласних інтегралів першого роду або встановити їх розбіжність.

Приклад 1

- не існує.

Невласний інтеграл разбіжний.

Приклад 2

-

інтеграл збіжний.

Приклад 3

Перейдемо до границі

Виділимо повний квадрат в знаменнику

.

Отримаємо

Зробимо заміну

; ;

.

В результаті матимемо

Понизимо порядок косинуса за формулою :

Зробимо зворотну заміну .

Враховуючи на поведінку функції на нескінченостях, остаточно отримаємо

.

Тобто даний невласний інтеграл збіжний.

Приклад 4

Так як верхня межа є , введемо змінну , і отримаємо

Проведемо деякі перетворення:

Згідно правил інтегрування, матимемо

Підставляючи межі

та переходячи до границі, остаточно отримаємо

.

Отже, даний інтеграл збіжний.

Приклад 5

Проінтегруємо частинами, покладаючи , , , переходячи до границі і вводячи наступні позначення

І остаточно отримаємо

.

Отже, наш інтеграл збіжний.

Обчислити інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду) або встановити їх розбіжність.

Приклад 1

Підінтегральна функція має нескінчений розрив в точці , яка належить проміжку інтегрування. Тому перейдемо до границі при ,

Тепер, так як підінтегральна функція є неперервна, проведемо інтегрування за формулою Ньютона-Лейбніца.

І остаточно

Даний інтеграл розбіжний.

Приклад 2

Розкладемо знаменник на прості множники:

Як бачимо, в точці , яка належить проміжку інтегрування, знаменник перетворюється в нуль і підінтегральна функція має нескінченний розрив. Перейдемо до границі при , , розбивши проміжок інтегрування на дві частини.

Розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби, скориставшись методом невизначених коефіцієнтів:

І остаточно

.

Приклад 3

Проведемо деякі перетворення даного інтеграла і перейдемо до границі при , , так як при маємо розрив.

Зробимо заміну . Отримаємо

Проінтегруємо частинами

І остаточно

,

тобто даний інтеграл розбіжний.

Приклад 4

Як бачимо, підінтегральний вираз має розриви в точках та . Перейдемо до границі при , .

Зробимо заміну

, , .

В результаті отримаємо

Понизивши порядок синуса та використавши таблицю інтегралів отримаємо

Зробивши зворотну заміну , матимемо

Переходячи до границі в дужках отримаємо

І остаточно

.

Тобто, наш інтеграл є збіжний.

Інтеграли з безкінечними межами (інтеграли першого роду)

В даних задачах визначити не власні інтеграли (або дослідити їх на збіжність)

1. 2.

3. , 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

Різні задачі

12.При яких значеннях k інтеграл

буде збіжним?

13.При яких значеннях k збігаються інтеграли

1) 2) ?

Вирахувати не збіжні інтеграли

14.

15.

16. (n-ціле додатне число)

17. (n-ціле додатне число)

18. (n-ціле додатне число)

19.Вирахувати інтеграл

В наступних задачах обчислити інтеграли, користуючись формулами

(інтеграл Пуассона)

(інтеграл Діріхлє).

20. 21.

22. 23.

24. 25.

Обчислити інтеграл

26. 27.

28. 29.

В даних задачах дослідити на збіжність наступні інтеграли

30. 31.

32. 33.

34. 35.

36.

Інтеграли функцій з нескінченними розривами.

Обчислити невласні інтеграли (або встановити їх збіжність)

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45.

Дослідити на збіжність інтеграли

46. 47.

48.

Розділ 3

Поиск по сайту: