Методи наближеного обчислення

Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це набли­жене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи — метод прямо­кутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за фор­мулою

(10)

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

а = х₀ < x­₁ < х₂ < ... < х_k < ... < х_n-1 < х_k = b

на n рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення f (х_k), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(11)

яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити у_k = f (x_k), де x_k = а + х·k — точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(12)

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення вико­ристовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [x_k-1, x_k] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

Застосування визначених інтегралів

Обчислення площ

Якщо на відрізку [а,b] функція f (х) 0, то згідно з форму­лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою

Якщо на відрізку [a, b] функція f (х) 0, то криволінійна тра­пеція, обмежена кривою f (х), відрізком [а, b] та прямими х = аі х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл у цьому випадку буде 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою

або (f(x) 0)

Якщо f (х) на відрізку [а,b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,b] треба розбити на суму інтегралів по част­кових відрізках. Інтеграл буде додат­ним на тих відрізках, де f (х) 0 та від'ємним там, де f (х)<0. Інтеграл по відрізку [а,b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют­них величин інтегралів по часткових

Мал. 2

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв'язування. Із аналітичної гео­метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S₁, де S₁ — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,

Із рівняння еліпса знаходимо у:

Мал. 3.

Для заштрихованої частини еліпса у 0, тому і ми одержуємо

(1)

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dt; t = arcsin x,

t_B = arcsin1 = .

Отже,

За формулою (13) одержимо S = 8 · (квадратних одиниць).

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої кривими y = f₁(х), y=f2(х) та прямими х = а, х = b (дивись, наприклад, Малюнок 4), то при f₁(х) f2(х) її можна знайти за формулою

(14)

Мал. 4

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

та

Розв'язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Ко­ординати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому

Мал. 5

Отже, площа заштрихованої фігури буде

(квадратних одиниць).

Поиск по сайту: