Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца

Первісна, її властивості

Означення	Функція F називається первісною для функції fна заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F'(x)= f(x)
Основна властивість первісних	Теорема 1. Нехай функція F(x) є первісною для f(х) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + С також є первісною для функції f(х). Теорема 2. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді будь-яка первісна для функції f(x) на цьому проміжку може бути записана у вигляді F(x) + С, де С — деяка стала (число). Теореми 1 і 2 виражають основну властивість первісної. Геометричного зміст: графіки будь-яких двох первісних для функції f одержуються один із одного паралельним перенесенням вздовж осі Οу.
Правила знаходження первісних	1. Якщо F(x) і G(x) — первісні відповідно функцій f(x) і g(x) на деякому проміжку, то функція F(x) ± G(x) є первісною функції f(x) ± g(x). (F(x)± G(x))'=F'(x)± G(x)=f(x)± g(x) 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x), a C — ста­ла, то CF(x) — первісна для функції Cf(x). F(x) = f(x) то (CF(x))' = CF'(x) = Cf(x) 3. Якщо F(x) є первісною для f(x), a k і b - постійні числа, k0, то F(kx +b) є первісною для функції f(kx + b). = F'(kx +b)·k= F'(kx +b)= f(kx + b)

Таблиця первісних

f(x)	k- стала
F(x)	+С	C	x+c				+C
f(x)			ax+b
F(x)			+bx+C	+С			+C
Приклади знаходження первісних	Самостійне опрацювання
1. Знайдіть всі первісні для функції f(x) = 5 F(x) = 5х + С; f(x) = х5 F(x) = + С; f(x) = F(x) = x + С; f(x) = 10х F(x) = +С Для даної функції f(x)=3х2-2х знайдіть первісну, графік якої прохо­дить через точку А(1;4): F(x) = х3-х2+ С; F(1) =4; 1-1+С = 4; С=4, тобто F(x) = х3-х2+4	1. Знайдіть первісні для функції а) f(x) = ; б) f(x) = . 2. Знайдіть первісну, графік якої прохо­дить через задану точку А: а) f(x) = х4; А(-1; 0); б) f(x) = sinx, Α(π; 2).

Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графі­ком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а; b], прямими x = а, х = b і відрізком [а; b].

Теорема: Якщо f(x) неперервна і невід’ємна на відрізку [а; b] функція, а F(x) –її первісна на цьому відрізку, то площа відповідної криволінійної трапеції дорівнює: S = F(b)- F(a)

Розглянемо непе­рервну функцію у = f(x), не­від'ємну на відрізку [а; b].

Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин а = x₀< x₁< x₂< … < x_n-1 < х_n = b, довжина кожної частини дорівнює = Δx.

Утворимо суму S добутків f(x_i)·Δx, де і = 0; 1; ... ; n - 1, яка називається інтегральною сумою:

S_n = f(x_o)·Δx + f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... + f(x_n-1)·δx·. Знайдемо S = .

За означенням цю границю називають інтегралом функції y = f(x) від a до b і позначають

Число аназивається нижньою межею інтегрування, а число b — верхньою межею інтегрування.

, якщо f(x) 0 для всіх x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0.

= F(b)- F(a) - формула Ньютона-Лейбніца

Властивості інтеграла	Приклади знаходження інтегралів
	1) 2) 3) . 4) .

Поиск по сайту: