Функцію називають первісною від функції на відрізку , якщо в усіх точках цього відрізку виконується рівність:
Якщо функція є первісною від функції , то вираз , де - довільна стала, називають невизначеним інтегралом від функції і позначають
Властивості невизначеного інтегралу:
1) ;
2) ;
3)
4) ;
5) де ;
6) Якщо , то , де та .
Таблиця інтегралів.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13) /
Методи інтегрування
А) Заміна змінної у невизначеному інтегралі.
Якщо в інтегралі зробити заміну , то має місце рівність
.
Формула інтегрування частинами для невизначеного інтегралу має вигляд:
.
б) Інтеграли від функцій, які містять квадратний тричлен:
.
Знаходять за допомогою заміни змінної
.
В) Інтегрування раціональних дробів.
Раціональним дробом називають функцію, яку можна подати у вигляді відношення двох многочленів:
.
Раціональний дріб називають правильним, якщо степінь чисельника менший ніж степінь знаменника.
Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми многочленна та деякого правильного дробу, для цього необхідно розділити чисельник на знаменник згідно з правилом ділення многочленів:
Правильні раціональні дроби вигляду: І. ІІ. , де - ціле додатне число; ІІІ. ІV. , називають найпростішими дробами І, ІІ, ІІІ, ІV типу.
Будь-який правильний раціональний дріб можна розкласти на найпростіші дроби.
Нехай дано правильний раціональний дріб якщо
,
то
. (1)
Коефіцієнти можна визначити із наступних міркувань: так як (1) є тотожність, то після зведення до спільного знаменника одержимо тотожні многочлени в чисельниках зліва і справа. Порівнявши коефіцієнти при однакових степенях одержимо систему рівнянь для визначення невідомих .
Для відшукання коефіцієнтів можна скористатись і наступним прийомом. Так як після зведення до спільного знаменника в чисельниках одержуємо тотожні многочлени то ці многочлени рівні при будь-якому значенні . Тому, підставляючи замість різні числа, одержимо систему рівнянь для визначення невідомих .
Визначений інтеграл.
Формула Ньютона-Лейбниця:
де - первісна від функції
Властивості визначеного інтегралу:
1) .
2) , де .
3) .
4) Якщо на відрізку , де функції і задовольняють умову , то
.
5) Якщо та найменше та найбільше значення функції на відрізку і , то
6)
Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
.
Заміна змінної у визначеному інтегралі
У визначеному інтегралі від неперервної на відрізку функції введемо нову змінну за формулою:
Тоді якщо
1) .
2) та неперервні на відрізку .
3) визначена та неперервна на відрізку , то
.
Геометрична інтерпретація визначеного інтегралу:
дорівнює площі криволінійної трапеції обмеженою кривою , прямими та віссю .