Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Заміна змінної у визначеному інтегралі



РОЗДІЛ VI.

ІНТЕГРАЛИ

Функцію називають первісною від функції на відрізку , якщо в усіх точках цього відрізку виконується рівність:

Якщо функція є первісною від функції , то вираз , де - довільна стала, називають невизначеним інтегралом від функції і позначають

Властивості невизначеного інтегралу:

1) ;

2) ;

3)

4) ;

5) де ;

6) Якщо , то , де та .

 

Таблиця інтегралів.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) /

Методи інтегрування

А) Заміна змінної у невизначеному інтегралі.

Якщо в інтегралі зробити заміну , то має місце рівність

.

Формула інтегрування частинами для невизначеного інтегралу має вигляд:

.

б) Інтеграли від функцій, які містять квадратний тричлен:

.

Знаходять за допомогою заміни змінної

.

 

В) Інтегрування раціональних дробів.

Раціональним дробом називають функцію, яку можна подати у вигляді відношення двох многочленів:

.

Раціональний дріб називають правильним, якщо степінь чисельника менший ніж степінь знаменника.

Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми многочленна та деякого правильного дробу, для цього необхідно розділити чисельник на знаменник згідно з правилом ділення многочленів:

Правильні раціональні дроби вигляду: І. ІІ. , де - ціле додатне число; ІІІ. ІV. , називають найпростішими дробами І, ІІ, ІІІ, ІV типу.

Будь-який правильний раціональний дріб можна розкласти на найпростіші дроби.

Нехай дано правильний раціональний дріб якщо

,

то

. (1)

Коефіцієнти можна визначити із наступних міркувань: так як (1) є тотожність, то після зведення до спільного знаменника одержимо тотожні многочлени в чисельниках зліва і справа. Порівнявши коефіцієнти при однакових степенях одержимо систему рівнянь для визначення невідомих .

Для відшукання коефіцієнтів можна скористатись і наступним прийомом. Так як після зведення до спільного знаменника в чисельниках одержуємо тотожні многочлени то ці многочлени рівні при будь-якому значенні . Тому, підставляючи замість різні числа, одержимо систему рівнянь для визначення невідомих .

Визначений інтеграл.

Формула Ньютона-Лейбниця:

де - первісна від функції

Властивості визначеного інтегралу:

1) .

2) , де .

3) .

4) Якщо на відрізку , де функції і задовольняють умову , то

.

5) Якщо та найменше та найбільше значення функції на відрізку і , то

6)

Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

.

 

Заміна змінної у визначеному інтегралі

 

У визначеному інтегралі від неперервної на відрізку функції введемо нову змінну за формулою:

Тоді якщо

1) .

2) та неперервні на відрізку .

3) визначена та неперервна на відрізку , то

.

Геометрична інтерпретація визначеного інтегралу:

дорівнює площі криволінійної трапеції обмеженою кривою , прямими та віссю .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.