Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Розділ 4. Інтеграл Лебега

 

Нагадаємо, що інтеграл Рімана визначається як границя інтегральних сум: , де , і . Проте, ряд достатньо простих функцій не є інтегровними за Ріманом. До таких належать, зокрема, функція Інтеграл Лебега є узагальненим інтегралом Рімана. Основна ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що множиться не на , а на міру множини тих , в яких функція приймає значення близькі до . Завдяки цьому інтегрованими за Лебегом на множині скінченої міри є, зокрема, всі вимірні обмежені функції, до яких належить вище вказана функція. Далі введемо поняття інтеграла Лебега функції , якщо і –лінійна міра Лебега на . Відповідні не змінюються суттєво, якщо –довільна вимірна множина і –довільна зліченно-адитивна, -скінченна міра.

1. Прості функції.Функція називається простою на множині , якщо її множина значень на є скінченною або зліченною. Графік простої функції складається з точок і відрізків паралельних осі . Наприклад, функція є простою.

Теорема 1. Для того щоб функція , множина значень якої є скінченною або зліченною, була вимірною, необхідно і достатньо, щоб всі множини були вимірними.

Доведення. Нехай – вимірна функція. Оскільки

,

то мусить бути вимірною. Нехай усі множини є вимірними. Тоді для кожного множина є об’єднанням скінченної або зліченної кількості множин і, отже, є вимірною множиною. ►

Теорема 2. Для того щоб функція була вимірною на множині , необхідно і достатньо, щоб множина була вимірною, і існувала послідовність простих вимірних на функцій , яка рівномірно на збігається до .

Доведення. Достатність випливає з властивостей вимірних функцій. Доведемо необхідність. Нехай – вимірна на і , якщо , де і . Тоді , – прості вимірні функції, для всіх і рівномірно на .►

2. Означення і найпростіші властивості інтеграла Лебега простої функції по множині скінченої міри. Нехай –вимірна множина скінченної міри, – проста вимірна функція, – множина її значень, . Інтегралом Лебега простої функції по множині скінченної міри називається ряд:

. (1)

Проста функція називається інтегрованою або сумовною на множині , якщо ряд (1) є абсолютно збіжним.

Теорема 1. Якщо – сукупність скінченної або зліченної кількості вимірних попарно неперетинних множин, –множина скінченої міри, то для кожної простої функції

(2)

причому з існування інтеграла в лівій частині випливає існування інтегралів в правій і абсолютна збіжність ряду(2). Навпаки, з абсолютної збіжності ряду (2) випливає інтегрованість на множині .

Доведення. Нехай – множина значень функції на множині , . Тоді

.

Множини попарно неперетинні, і ,

, .

Звідси та означення інтеграла простої функції випливає твердження теореми. ►

Теорема 2. , якщо останні два інтеграли існують.

Теорема 3. для будь-якої числової сталої , якщо останній інтеграл існує.

Теорема 4. для будь-яких чисел і , якщо останні інтеграли існують.

Теорема 5.Якщо – проста інтегрована функція, то

.

Теорема 6. Якщо проста функція і , то

.

Теорема 7. для будь-якої вимірної множини .

Теорема 8. Якщо проста невід’ємна на функція є інтегрованою на , то

.

Теорема 9. Якщо вимірна проста функція, то

.

Приклад 1. , якщо

Приклад 2. Якщо , , то функція є простою, , , для і

.

3. Означення сумовної функції і її інтеграла Лебега на множині скінченної міри. Нехай – множина скінченної міри. Функцію назвемо сумовною або інтегрованою за Лебегом на множині за мірою , якщо є вимірною на і існує послідовність простих інтегрованих на функцій , яка рівномірно на збігається до . Границю

(1)

назвемо інтегралом Лебега функції по множині за мірою .

Наступні три теореми обґрунтовують коректність цього означення.

Теорема 1. Границя (1) для будь-якої рівномірно збіжної на множині послідовності простих інтегрованих на функцій існує.

Доведення. Справді, нехай . Тоді

. ( 2)

Оскільки рівномірна збіжність на рівносильна збіжності за – нормою на , а збіжна послідовність є фундаментальною, то з (2) випливає фундаментальність, а тому і збіжність, в послідовності . Отже, границя (1) існує. ►

Теорема 2. Границя (1) не залежить від вибору послідовності .

Доведення. Якщо і – дві рівномірно збіжні до на послідовності простих інтегровних функцій, то такою ж є послідовність

(3)

Послідовність (3) також рівномірно збігається на до . Отже, за теоремою 1 для неї існує границя (1). Але послідовності і є підпослідовностями послідовності (3). Звідси випливає твердження теореми 2. ►

Теорема 3. Якщо – проста функція, то означення інтеграла (1) співпадає з раніше наведеним.

Доведення. Справді, досить взяти сталу послідовність .►

Приклад 1. Якщо для , то функції є простими на множині і послідовність рівномірно на збігається до функції . При цьому,

.

Тому .

4. Найпростіші властивості інтеграла Лебега по множині скінченної міри. Нехай – множина скінченної міри.

Теорема 1. .

Доведення. Це випливає безпосередньо з означення, оскільки функція є простою. ►

Теорема 2 (однорідність). Для будь-якої сталої виконується

,

якщо останній інтеграл існує.

Доведення. Ця властивість випливає з означення і відповідної властивості інтеграла простих функцій, і одержуються за допомогою граничного переходу. ►.

Отож, отримуємо наступні сім тверджень.

Теорема 3. Якщо функція є інтегровною на і , то .

Теорема 4. (адитивність). ,

якщо останні два інтеграли існують.

Теорема 5. Для кожної інтегровної на функції

.

Теорема 6 (лінійність). Для будь-яких сталих і

,

якщо останні інтеграли існують.

Теорема 7. Якщо функція є інтегровною на і невід’ємною на , то .

Теорема 8. Якщо майже скрізь на , то

,

якщо принаймні один із цих інтегралів існує.

Теорема 9. Якщо функція є інтегровною на множині і , то .

Приклад 1.Якщо , то і .

5. Ознаки інтегровності функцій на множині скінченної міри.

Теорема 1. Нехай функція є вимірною на множині . Тоді функції і є одночасно інтегрованими на множині і

. (1)

Теорема 2. Якщо функція є вимірною на множині , а функція є інтегрованою на множині і

,

то функція є інтегровною на і

. (2)

Наслідок 1. Обмежена вимірна функція на множині скінченної міри є інтегрованою.

Приклад 1.Функція є інтегровною на будь-якій множині скінченної міри і .

Приклад 2.Нехай – вимірна множина, – її невимірна підмножина. Тоді функція

є невимірною і тому не є інтегровною на . Разом з цим, і тому функція є інтегровною на . Отже, якщо функція є невимірною, то функція може бути інтегровною, а функція , зрозуміло, не є інтегровною (інтеграл Лебега визначається тільки для вимірних функцій).

6. Властивості інтеграла як функції множини на множині скінченної міри.

Теорема 1. Нехай – множина скінченої міри. – скінченна або зліченна множина попарно неперетинних множин скінченої міри. Тоді для кожної інтегрованої на функції виконується

, (1)

причому ряд (1) збіжний абсолютно.

Приклад 1. Нехай функція визначена формулою

Тоді і, отже, є сумовною на кожному проміжку . Водночас,

.

Отже, і не є сумовними на .

Теорема 2. Якщо – скінченна або зліченна множина попарно неперетинних вимірних множин, множина є множиною скінченної міри, функція є інтегрованою на кожній з множин і ряд

є збіжним, то є інтегрованою на і справедлива рівність

.

Приклад 2. .

Приклад 3. .

Теорема 3 (нерівність М.Чебишева). Нехай функція є вимірною та інтегрованою на множині і . Тоді

.

Доведення. Справді, нехай . Тоді

.►

Приклад 4. .

Теорема 4. Якщо

,

то майже скрізь на .

Доведення. Справді, для кожного

.

Тому

.►

Теорема 5 (абсолютна неперервність інтеграла). Нехай функція єінтегрованою на множині . Тоді для кожного знайдеться таке, що для будь-якої вимірної множини , для якої , виконується

.

Приклад 5. Якщо , то , якщо , і .

7. Граничний перехід під знаком інтеграла по множині скінченної міри.

Теорема 1 (А.Лебега). Якщо послідовність вимірних на множині функцій поточково на збігається до і існує сумовна на функція така, що

, (1)

то є інтегрованою на і

. (2)

Приклад 1. Послідовність поточково на збігається до і . Тому .

Приклад 2. Якщо ­–вимірна множина скінченної міри і послідовність вимірних інтегровних на функцій рівномірно на збігається до функції , то функція є інтегровною на і . Справді, з рівномірної збіжності випливає, що . для деякого і всіх . Тому є інтегровною. Крім цього, знайдеться таке , вимірних для всіх і всіх . Залишилось скористатись теоремою Лебега.

Теорема 3 (Б.Леві). Нехай – послідовність сумовних функцій на множині скінченної міри,

,

і

.

Тоді майже скрізь на існує скінченна границя і

.

Приклад 1. Послідовність поточково на збігається до і . для всіх і всіх . Тому .

Теорема 4 (П.Фату). Якщо –множина скінченної міри послідовність невід’ємних сумовних функцій на множині ,

, (1)

і

, (2)

то функція є сумовною на і

. (3)

Наслідок 1. Якщо послідовність невід’ємних і сумовних на функцій збігається майже скрізь на до функції ,

,

то функція є сумовною і

.►

Приклад 1. Послідовність для кожного збігається до і

.

Отже, в даному випадку в (3) має місце строга нерівність. Тому не можна стверджувати, що за виконання умов леми Фату

.

8. Інтеграл Лебега по множині нескінченної міри.Нехай – множина нескінченної міри і така існує послідовність скінченної міри, для якої і . Інтегралом Лебега невід'ємної вимірної на функції називається границя

. (1)

Невід'ємної вимірна на множині функції називається інтегрованою на , якщо границя (1) є скінченною. Це означення є конкретним. Справді, границя (1) (скінченна або нескінченна) існує для кожної розглядуваної послідовності , бо числова послідовність

є неспадною. Крім цього, границя (1) не залежить від послідовності . Інтегралом вимірної на функції називається символ

, (5)

де

, .

Вимірна функція називається інтегрованою на , якщо інтегрованою на є кожна з функцій і (вони невід'ємні) Використовуючи рівності

, ,

переконуємось, що всі теореми п.п. 4-8 залишаються справедливими і для інтегралів по множині нескінченної міри. Виключення становить теорема 1 п. 4.(функція не є інтегрованою на множині нескінченної міри).

Зауваження 1. Всюди вище ми ніде не використовували, що –лінійна міра на . Тому все сказане вище в даному розділі справедливе для довільної зліченно-адитивної -скінченної і повної міри, визначеної на довільній -алегебрі. Скзане не стосується правда розглядуваних прикладів.

10. Зв’язок між інтегралами Рімана і Лебега.

Теорема 1. Якщо функція є інтегрованою за Ріманом на скінченному проміжку , то вона інтегрована на за мірою Лебега на і обидва інтеграли є рівними:

,

де лінійна міра Лебега на .

Теорема 2. Для абсолютної збіжності невласного інтеграла Рімана

(1)

необхідно і достатньо, щоб функція була інтегровною на за мірою Лебега на . Якщо остання умова виконана, то

, (2)

де –міра Лебега на .

Зауваження 1. Якщо –лінійна міра Лебега на , то для позначення інтеграла Лебега використовують також символи , , , та інші.

3. Вимірний простір. Імовірнісний простір.Простором з мірою називається упорядкована трійка , де –деяка непорожня множина, –деяка сукупність підмножин множини , а –деяка міра, для якої . Якщо , то простір з мірою називається вимірним простором. Якщо –вимірний простір, і , то –також вимірний простір, де –множина тих , які подаються у вигляді , де . Міра називається імовірнісною, якщо . Імовірнісним простором називається вимірний простір, в якому –імовірнісна міра. Імовірнісний простір лежить в основі сучасного підходу до побудови теорії імовірності. Цей підхід запропонований А.Колмогоровим. При цьому на міру накладають деякі додаткові обмеження (міра повина бути повною і зліченно- адитивною, а сукупність множин – утворювати -алгбру). При розгляді вимірного простору як імовірнісного змінюється термінологія: –називається простором елементарних випадкових подій, елементи простору –елементарними випадковими подіями, елементи множини , тобто вимірні множини, –випадковими подіями ( –неможлива подія, –достовірна подія), вимірна функція –випадкова величина, –імовірність випадкової події , послідовності функцій збігається майже скрізь–послідовність випадкових величин збігається з імовірністю (майже напевно) і т.д. Імовірносний простір називається скінченним імовірнісним простором, якщо –скінченна множина і –сукупність всіх підмножин множини . Імовірнісний простір називається зліченним імовірнісним простором, якщо –зліченна множина і –сукупність всіх підмножин множини . При розгляді елементарних імовірнісних задач (кидання кубика, монети) імовірнісний простір є скінченним.

Зауваження 1. Подальше узагальнення міри і інтеграла пов’язано з розглядом знакозмінних мір, зарядів тощо.

11. Запитання для самоконтролю.

1. Сформулюйте означення простої функції.

2. Сформулюйте означення інтеграла Лебега простої функції по множині скінченної міри.

3. Сформулюйте означення сумовної функції по множині скінченної міри та її інтеграла Лебега.

4. Сформулюйте означення сумовної функції по множині нескінченної міри та її інтеграла Лебега.

5. Сформулюйте і доведіть теорему про умови вимірності простої функції.

6. Сформулюйте і доведіть теорему про умови вимірності функції в термінах простих функції.

7. Сформулюйте про адитивну властивість інтеграла простої функції як функції проміжку.

8. Сформулюйте і доведіть теореми про коректність означення інтеграла Лебега по множині скінченної міри.

10. Сформулюйте теореми про властивості інтеграла Лебега як функції проміжку і доведіть одну з них.

11. Сформулюйте і доведіть теорему про нерівність Чебешова.

12. Сформулюйте теорему про абсолютну неперервність інтеграла Лебега.

14. Сформулюйте теорему Лебега про граничний перехід зв інтегралі.

15. Сформулюйте і доведіть теорему Леві про граничний перехід зв інтегралі.

16. Сформулюйте і доведіть теорему(лему) Фату про граничний перехід в інтегралі.

17. Сформулюйте теорему про взаємозв’язок між інтегралами Лебега та Рімана.

Вправи та задачі.

1.З’ясуйте, чи функція є інтегровною за Лебегом на множині

1. ,

2. ,

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. ,

19. , .

20. , .

21. , .

22. ,

23. ,

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. ,

30. , .

31. , .

2.Знайдіть інтеграл

1. , .

2. , .

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. , .

13. , .

14. , для .

15. , для .

16. , для .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , для .

21. , для

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.