Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Составное (сложное) движение точки



 

 

Составное движение точки - это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.

Рассмотрим тело А (рис. 28), которое свободно движется по отношению к неподвижной системе координат О1x1y1z1. Пусть точка М совершает движение по поверхности этого тела. Через произвольную точку О движущегося тела проведем неизменно связанные с этим телом оси x, y, z. Систему осей Оxyz называют подвижной системой отсчета.

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением точки.

Абсолютное движение точки характеризуется изменением радиуса-вектора по модулю и направлению.

Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки и обозначают и .

 

Рис. 28

 

Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точки. Относительное движение характеризуется изменением только радиуса-вектора при неизменных радиусах-векторах и . В этом случае координаты х, у, z точки М в подвижной системе отсчета будут изменяться.

Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение подвижной системы отсчета Оxyz и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета О1x1y1z1 является для точки М переносным движением. Переносное движение точки М характеризуется изменением радиусов-векторов и по модулю и направлению при неизменном только по модулю радиусе-векторе .

Скорость и ускорение той точки тела А, с которой в данный момент совпадает точка М, называют переносной скоростью и переносным ускорением точки М и обозначают и .

Желая изучить относительное движение точки, следует мысленно остановить переносное движение. Если необходимо изучить переносное движение точки, то надо мысленно остановить относительное движение и рассмотреть далее движение точки по формулам кинематики точки в абсолютном движении.

Если точка М участвует в составном движении, то имеют место следующие теоремы:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей точки, т. е.

 

= + ;

 

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова (поворотного) ускорений этой точки, т. е.

 

= + + ,

или

= + + + + .

 

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки, т. е.

 

= 2 × ( ´ ).

 

Следовательно, модуль этого ускорения

 

= 2 × wпер × Vотн × sin a,

 

где a - угол между векторами и .

Чтобы найти направление кориолисова ускорения точки М, достаточно в точке М построить векторы и и восстановить из этой точки перпендикуляр к плоскости, в которой лежат эти векторы и . Вектор направлен по этому перпендикуляру так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора, видел поворот вектора на угол a против хода часовой стрелки до совмещения его с вектором (рис. 29).

 

 

Рис. 29

Направление вектора можно определить и другим способом (правило Н. Е. Жуковского).

Проведем через точку М плоскость П, перпендикулярную к вектору и спроецируем относительную скорость на эту плоскость. Если полученную проекцию повернем в плоскости П на 90° вокруг точки М в направлении переносного вращения, то получим направление вектора .

 

 

Задача К3

 

 

Прямоугольная пластина (рис. К3.0–К3.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К3.5–К3.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f1(t), заданному в табл. К3. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. К3.0, К3.1, К3.2, К3.5, К3.6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К3.3, К3.4, К3.7, К3.8, К3.9 ось вращения О1О лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой ВD (рис. К3.0–К3.4) или по окружности радиуса R (рис. К3.5–К3.9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = f2 (t) (s выражено в сантиметрах, t в секундах), задан в табл. К3 отдельно для рис. К3.0–К3.4 и для рис. К3.5–К3.9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.

Указания. Задача К3 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1 = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. К3.5–К3.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1 = 1 с и угол между радиусами СМ и СA в этот момент.

 

Таблица К3

 

  Номер условия Для всех рисунков j = f1(t) Для рис. К3.0-К3.4 Для рис. К3.5-К3.9
  b, см   s = AM = f2 (t)   l s = = f2(t)
4×(t2 - t) 50×(3×t - t2) - 64 R p×R×(4t2 - 2t3)/3
3t2 - 8t 40×(3×t2 - t4) - 32 4R/3 p×R×(2t2 - t3)/2
6t3 - 12t2 80×(t2 - t) + 40 R p×R×(2t2 - 1)/3
t2 - 2t3 60×(t4 - 3t2) + 56 R p×R×(3t - t2)/6
10t2 - 5t3 80×(2t2 - t3) - 48 R p×R×(t3 - 2t)/3
2×(t2 - t) 60×(t3 - 2t2) R p×R×(t3 - 2t)/6
5t - 4t2 40×(t2 - 3t) + 32 3R/4 p×R×(t3 - 2t2)/2
15t - 3t3 60×(t - t3) + 24 R p×R×(t - 5t2)/6
2t3 - 11t 50×(t3 - t) - 30 R p×R×(3t2 - t)/3
6t2 - 3t3 40×(t - 2t3) - 40 4R/3 p×R×(t - 2t2)/2

 

 

 

 

Рис. К3.0 Рис. К3.1 Рис. К3.2

 

 

Рис. К3.3 Рис. К3.4 Рис. К3.5

 

Рис. К3.6 Рис. К3.7

 

 

Рис. К3.8 Рис. К3.9

 

Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Пример К3а. Пластина OEAB1D (OE = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = = f2(t) (положительное направление отсчета s – от A к B).

Дано: R = 0,5 м, j = t2 - 0,5t3, s = p×R×cos(pt/3) (j - в радианах, s - в метрах, t - в секундах). Определить: и в момент времени t1 = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

= + ,

 

= + + , (58)

где, в свою очередь,

 

= + , = + .

 

 

Рис. К3а

 

Определим все входящие в равенства (58) величины.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

 

s = = p×R× cos(pt/3). (59)

 

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1. Полагая в уравнении (59) t1 = 2 с, получаем

 

s = p×R× cos(2p/3) = - 0,5pR.

 

Тогда

 

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1 = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка В1).

Теперь находим числовые значения , , :

 

,

 

,

где rотн – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t1 = 2 с, учитывая, что R = 0,5 м, получаем

 

м/с,

 

м/с2, м/с2. (60)

 

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К3а.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = t2 – 0,5×t3. Найдем сначала угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

 

= 2×t – 1,5×t2, = 2 – 3×t;

 

и при t1 = 2 с

w = – 2 c–1, e = – 4 с–2. (61)

 

Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а.

Для определения и находим сначала расстояние h1 = OB1точки B1 от оси вращения О. Из рисунка видно, что h1 = 2R× = 1,41 м. Тогда в момент времени t1 = 2 с, учитывая равенства (61), получим

 

Vпер = |w|×h1 = 2,82 м/с,

 

= |e|×h1 = 5,64 м/с2, = w2×h1 = 5,64 м/с2. (62)

 

Изображаем на рис. К3а векторы и с учетом направлений w и e и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле акор = 2× |Vотн| × |w| × sin a, где a – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени t1 = 2 с, так как в этот момент |Vотн| = 1,42 м/с и |w| = 2 с-1, получим

 

акор = 5,68 м/с2. (63)

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении w, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учтя, что = 2×( ´ ).

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (58) векторов найдены и для определения Vабс и аабс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение Vабс. Проведем координатные оси В1ху(см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства = + на эти оси. Получим для момента времени t1 = 2 с:

 

Vабс х = Vотн х + Vпер х = 0 - |Vпер| × сos 45° = - 1,99 м/с,

 

Vабс у = Vотн у + Vпер у = |Vотн| + |Vпер| × сos 45° = 3,41 м/с.

 

После этого находим

м/с.

 

Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение Vабс можно еще определить по формуле

 

м/с.

 

5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений

 

= + + + + . (64)

 

Для определения спроецируем обе части равенства (64) напроведенные оси В1ху. Получим:

 

аабс х = + акор + × cos 45° - | |× cos 45°,

 

аабс y = × cos 45° + | |× cos 45° - | |.

 

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1 = 2 с, найдем, что в этот момент

 

аабс х = 9,74 м/с2; аабс y = 7,15 м/с2.

 

Тогда

 

м/с2.

 

Ответ: Vабс = 3,95 м/с, аабс = 12,08 м/с2.

Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t3–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: Vабс и аабс в момент времени t1 = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

= + , = + + , (65)

 

где, в свою очередь, = + .

Определим все входящие в равенство (65) величины.

1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t - 3t2, (66)

Поэтому

 

В момент времени t1 = 2 с имеем

 

s1 = AB1 = 20 cм, Vотн = 3 см/с, аотн = - 6 см/с2. (67)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К3б.

 

 

Рис. К3б

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1×t3 - 2,2t.

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения: w = = 0,3t2 - 2,2; e = = 0,6t и при t1 = 2 с,

 

w = - 1 c-1, e = 1,2 c-2. (68)

 

Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z: h1 = AB1× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

Vпер = |w|×h1 = 10 cм/с,

 

= |e|×h1 = 12 см/с2, = w2×h1 = 10 см/с2. (69)

 

Изобразим на рис. К3б векторы и (с учетом знаков w и e)и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В1С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t1 =

акор = 2×|Vотн| × |w| × sin 30° = 3 см/с2. (70)

 

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).

4. Определение Vабс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t1 = 2 с Vабс = 10,44 см/с.

5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений

 

= + + + . (71)

 

Для определения аабс проведем координатные оси В1хуz1 и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х1, а векторы и расположены в плоскости В1хуz1, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В1хуz1 и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t1 = 2 с:

 

аабс х = | | – акор = 9 см/с2,

 

 

аабс у = + |аотн|×sin 30 ° = 13 см/с2,

 

 

аабс z = |аотн|×cos 30 ° = 5,20 см/с2.

 

Отсюда находим значение аабс:

 

см/с2.

 

 

Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2.

 

Вопросы для самоконтроля

 

 

1. Что понимается под составным (сложным) движением точки?

2. Что называется абсолютным, переносным и относительным движением точки?

3. Сформулируйте, что такое переносная скорость и переносное ускорение точки.

4. В чем заключается теорема об абсолютной скорости точки, совершающей составное движение.

5. Сформулируйте теорему об ускорениях точки в составном движении.

6. Как определить модуль и направление кориолисова ускорения точки?

7. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?


 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.