Составное движение точки - это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.
Рассмотрим тело А (рис. 28), которое свободно движется по отношению к неподвижной системе координат О1x1y1z1. Пусть точка М совершает движение по поверхности этого тела. Через произвольную точку О движущегося тела проведем неизменно связанные с этим телом оси x, y, z. Систему осей Оxyz называют подвижной системой отсчета.
Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением точки.
Абсолютное движение точки характеризуется изменением радиуса-вектора по модулю и направлению.
Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки и обозначают и .
Рис. 28
Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точки. Относительное движение характеризуется изменением только радиуса-вектора при неизменных радиусах-векторах и . В этом случае координаты х, у, z точки М в подвижной системе отсчета будут изменяться.
Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .
Движение подвижной системы отсчета Оxyz и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета О1x1y1z1 является для точки М переносным движением. Переносное движение точки М характеризуется изменением радиусов-векторов и по модулю и направлению при неизменном только по модулю радиусе-векторе .
Скорость и ускорение той точки тела А, с которой в данный момент совпадает точка М, называют переносной скоростью и переносным ускорением точки М и обозначают и .
Желая изучить относительное движение точки, следует мысленно остановить переносное движение. Если необходимо изучить переносное движение точки, то надо мысленно остановить относительное движение и рассмотреть далее движение точки по формулам кинематики точки в абсолютном движении.
Если точка М участвует в составном движении, то имеют место следующие теоремы:
абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей точки, т. е.
= + ;
абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова (поворотного) ускорений этой точки, т. е.
= + + ,
или
= + + + + .
Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки, т. е.
= 2 × ( ´ ).
Следовательно, модуль этого ускорения
= 2 × wпер × Vотн × sin a,
где a - угол между векторами и .
Чтобы найти направление кориолисова ускорения точки М, достаточно в точке М построить векторы и и восстановить из этой точки перпендикуляр к плоскости, в которой лежат эти векторы и . Вектор направлен по этому перпендикуляру так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора, видел поворот вектора на угол a против хода часовой стрелки до совмещения его с вектором (рис. 29).
Рис. 29
Направление вектора можно определить и другим способом (правило Н. Е. Жуковского).
Проведем через точку М плоскость П, перпендикулярную к вектору и спроецируем относительную скорость на эту плоскость. Если полученную проекцию повернем в плоскости П на 90° вокруг точки М в направлении переносного вращения, то получим направление вектора .
Задача К3
Прямоугольная пластина (рис. К3.0–К3.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К3.5–К3.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f1(t), заданному в табл. К3. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. К3.0, К3.1, К3.2, К3.5, К3.6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К3.3, К3.4, К3.7, К3.8, К3.9 ось вращения О1О лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).
По пластине вдоль прямой ВD (рис. К3.0–К3.4) или по окружности радиуса R (рис. К3.5–К3.9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = f2 (t) (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в табл. К3 отдельно для рис. К3.0–К3.4 и для рис. К3.5–К3.9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.
Указания. Задача К3 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1 = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).
В случаях, относящихся к рис. К3.5–К3.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1 = 1 с и угол между радиусами СМ и СA в этот момент.
Таблица К3
Номер условия
Для всех рисунков
j = f1(t)
Для рис. К3.0-К3.4
Для рис. К3.5-К3.9
b, см
s = AM = f2 (t)
l
s = = f2(t)
4×(t2 - t)
50×(3×t - t2) - 64
R
p×R×(4t2 - 2t3)/3
3t2 - 8t
40×(3×t2 - t4) - 32
4R/3
p×R×(2t2 - t3)/2
6t3 - 12t2
80×(t2 - t) + 40
R
p×R×(2t2 - 1)/3
t2 - 2t3
60×(t4 - 3t2) + 56
R
p×R×(3t - t2)/6
10t2 - 5t3
80×(2t2 - t3) - 48
R
p×R×(t3 - 2t)/3
2×(t2 - t)
60×(t3 - 2t2)
R
p×R×(t3 - 2t)/6
5t - 4t2
40×(t2 - 3t) + 32
3R/4
p×R×(t3 - 2t2)/2
15t - 3t3
60×(t - t3) + 24
R
p×R×(t - 5t2)/6
2t3 - 11t
50×(t3 - t) - 30
R
p×R×(3t2 - t)/3
6t2 - 3t3
40×(t - 2t3) - 40
4R/3
p×R×(t - 2t2)/2
Рис. К3.0 Рис. К3.1 Рис. К3.2
Рис. К3.3 Рис. К3.4 Рис. К3.5
Рис. К3.6 Рис. К3.7
Рис. К3.8 Рис. К3.9
Рассмотрим два примера решения этой задачи.
Пример К3а. Пластина OEAB1D (OE = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = = f2(t) (положительное направление отсчета s – от A к B).
Дано: R = 0,5 м, j = t2 - 0,5t3, s = p×R×cos(pt/3) (j - в радианах, s - в метрах, t - в секундах). Определить: и в момент времени t1 = 2 с.
Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:
= + ,
= + + , (58)
где, в свою очередь,
= + , = + .
Рис. К3а
Определим все входящие в равенства (58) величины.
1. Относительное движение. Это движение происходит по закону
s = = p×R× cos(pt/3). (59)
Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1. Полагая в уравнении (59) t1 = 2 с, получаем
s = p×R× cos(2p/3) = - 0,5pR.
Тогда
Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1 = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка В1).
Теперь находим числовые значения , , :
,
,
где rотн – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t1 = 2 с, учитывая, что R = 0,5 м, получаем
м/с,
м/с2, м/с2. (60)
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К3а.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = t2 – 0,5×t3. Найдем сначала угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:
= 2×t – 1,5×t2, = 2 – 3×t;
и при t1 = 2 с
w = – 2 c–1, e = – 4 с–2. (61)
Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а.
Для определения и находим сначала расстояние h1 = OB1точки B1 от оси вращения О. Из рисунка видно, что h1 = 2R× = 1,41 м. Тогда в момент времени t1 = 2 с, учитывая равенства (61), получим
Vпер = |w|×h1 = 2,82 м/с,
= |e|×h1 = 5,64 м/с2, = w2×h1 = 5,64 м/с2. (62)
Изображаем на рис. К3а векторы и с учетом направлений w и e и вектор (направлен к оси вращения).
3. Кориолисово ускорение. Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле акор = 2× |Vотн| × |w| × sin a, где a – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени t1 = 2 с, так как в этот момент |Vотн| = 1,42 м/с и |w| = 2 с-1, получим
акор= 5,68 м/с2. (63)
Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении w, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учтя, что = 2×( ´ ).
Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (58) векторов найдены и для определения Vабс и аабс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.
4. Определение Vабс. Проведем координатные оси В1ху(см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства = + на эти оси. Получим для момента времени t1 = 2 с:
Vабс х = Vотн х + Vпер х = 0 - |Vпер| × сos 45° = - 1,99 м/с,
Vабс у = Vотн у + Vпер у = |Vотн| + |Vпер| × сos 45° = 3,41 м/с.
После этого находим
м/с.
Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение Vабс можно еще определить по формуле
м/с.
5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений
= + + + + . (64)
Для определения спроецируем обе части равенства (64) напроведенные оси В1ху. Получим:
аабс х = + акор + × cos 45° - | |× cos 45°,
аабс y = × cos 45° + | |× cos 45° - | |.
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1 = 2 с, найдем, что в этот момент
аабс х = 9,74 м/с2; аабс y = 7,15 м/с2.
Тогда
м/с2.
Ответ: Vабс = 3,95 м/с, аабс = 12,08 м/с2.
Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.
Дано: j = 0,1× t3–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: Vабс и аабс в момент времени t1 = 2 с.
Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:
= + , = + + , (65)
где, в свою очередь, = + .
Определим все входящие в равенство (65) величины.
1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К3б.
Рис. К3б
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1×t3 - 2,2t.
Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения: w = = 0,3t2 - 2,2; e = = 0,6t и при t1 = 2 с,
w = - 1 c-1, e = 1,2 c-2. (68)
Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.
Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z: h1 = AB1× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:
Vпер = |w|×h1 = 10 cм/с,
= |e|×h1 = 12 см/с2, = w2×h1 = 10 см/с2. (69)
Изобразим на рис. К3б векторы и (с учетом знаков w и e)и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В1С к оси вращения.
3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t1 = 2с
акор = 2×|Vотн| × |w| × sin 30° = 3 см/с2. (70)
Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).
4. Определение Vабс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t1 = 2 с Vабс = 10,44 см/с.
5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений
= + + + . (71)
Для определения аабс проведем координатные оси В1хуz1 и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х1, а векторы и расположены в плоскости В1хуz1, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В1хуz1 и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t1 = 2 с:
аабс х = | | – акор = 9 см/с2,
аабс у = + |аотн|×sin 30 ° = 13 см/с2,
аабс z = |аотн|×cos 30 ° = 5,20 см/с2.
Отсюда находим значение аабс:
см/с2.
Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2.
Вопросы для самоконтроля
1. Что понимается под составным (сложным) движением точки?
2. Что называется абсолютным, переносным и относительным движением точки?
3. Сформулируйте, что такое переносная скорость и переносное ускорение точки.
4. В чем заключается теорема об абсолютной скорости точки, совершающей составное движение.
5. Сформулируйте теорему об ускорениях точки в составном движении.
6. Как определить модуль и направление кориолисова ускорения точки?
7. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?