Равнопеременное криволинейное движение

Если во все время движения величина касательного ус­корения точки постоянна, т.е. a_τ = const, то криволинейное движение называется равнопеременным.

При этом следует помнить, что если направление a_τ сов­падает с направлением скорости, то движение называется равно­ускоренным, если же a_τ направлено в сторону, противоположную скорости, то - равнозамедленным (рис. 2.15).

Рассмотрим более подробно это движение. Найдем закон изменения скорости точки и ее закон движения по криволиней­ной траектории s = s(t), считая, что при t=0 s = s₀, а v= v₀.

Здесь s₀ - начальное расстояние от начала отсчета; v₀ - начальная скорость точки.

Тогда из выражения

, или ,

интегрируя, найдем закон изменения скорости точки

. Далее, принимая во внимание, что , и вторично

интегрируя, получим закон равнопеременного криволинейного движения:

.

Отметим, что формулы (2) и (3) отличаются от соответ­ствующих формул для случая прямолинейного движения точки тем, что в эти формулы входит касательное ускорение.

Рассмотрим теперь, как определяет­ся ускорение точки при ее движении по ок­ружности радиусом R (рис. 2.16).

Скорость точки в случае ее движе­ния в положительном направлении отсчета расстояний определим по полученной выше формуле:

(4)

Дифференцируя это равенство по времени, получим касательное ускорение:

.

Величина:

называется угловым ускорением вращения радиуса OM=R.

Нормальное ускорение получим, принимая во внимание, что радиус кривизны окружности равен ее радиусу, т. е. ρ = R:

Модуль ускорения точки в круговом движении

Угол μ, который образует ускорение с радиусом окружности, определяется из равенства

Если V=const, то ускорение в круговом движении будет направлено по радиусу, так как тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю.

11. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательным движением твердого тела называет­ся такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле во все время движения, остается параллельной своему первоначальному направлению.

При поступательном движении точки тела могут дви­гаться по любым траекториям. Рассмотрим движение тела отно­сительно некоторой системы координат (рис. 2.19). Возьмем в теле точку А. Векторное уравнение движения точки А имеет вид:

r_A = r_A(t).

Возьмем в теле другую точку В, определяемую радиус-вектором r_B. Векторное уравнение движения точки В имеет вид:

r_B= r_A+AB

При движении тела радиус-векторы r_A и r_B изменяются с течением времени и по модулю, и по направлению. Вектор АВ имеет постоянный модуль и по­стоянное направление, что следует из определения абсолютно твердо­го тела и его поступательного движения. Как видно из уравнения (2), траекторию точки В можно получить параллельным перено­сом траектории точки А. Направ­ление и величина этого переноса определяются вектором АВ.

Таким образом, при по­ступательном движении твердого тела все его точки описыва­ют одинаковые траектории, которые при параллельном перено­се совпадают.

Дифференцируя равенство (2) по времени, найдем:

Далее, учитывая, что , а вектор АВне изменяется во времени ни по величине, ни по направлению, и следовательно, производная , имеем

V_B=V_A

При вторичном дифференцировании:

a_B=a_A

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то фор­мулы (4) и (5) показывают, что при поступательном движении все точки твердого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями для любого момента времени.

Из этих свойств поступательного движения следует, что изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения какой-либо одной из его точек. Следовательно, при изучении поступательного движения твердого тела можно при­менять все формулы, рассмотренные выше при исследовании движения одной точки.

12. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела описывают кон­центрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Рассмотрим вопрос о зада­нии уравнения, или закона вращательного движения. Пусть ось Oz является неподвиж­ной осью, вокруг которой вращается тело. Проведем через ось Oz две плоскости: под­вижную Р и неподвижную Q (рис. 2.20). По­ложение вращающегося тела может быть опре­ делено двугранным углом φ между этими плос­костями. Назовем угол φ углом поворота тела и условимся считать положительным, если, глядя с положительного конца оси z, угол φ виден отложенным от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки. Угол поворота тела обычно измеряют в радианах. Иногда в практических задачах этот угол выражают числом оборотов N тела. Так как один оборот тела соответствует 2π радиан, то получаем зависимость

φ =2π N (1)

При вращении тела угол поворота изменяется с течением времени, т.е.

φ = φ (t) (2)

Равенство (2) называется уравнением, или законом вра­щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим теперь основные кинематические величины, характеризующие вращательное движение тела. Этими величи­нами являются угловая скорость тела ω и угловое ускорение ε.

Угловой скоростью тела называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ тела во времени, т.е.:

(3)

В самом деле, пусть за промежуток времени ∆t угол по­ворота φ получил приращение ∆φ. Тогда средняя угловая ско­рость определится равенством:

(4)

Предел этого отношения при ∆t→0 называют угловой скоростью тела в данный момент времени

(5)

Мы вновь пришли к равенству (3). Итак, угловая ско­рость тела равна первой производной по времени от угла пово­рота тела. Значение угловой скорости ω для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зави­симости от того, возрастает или убывает угол поворота тела.

Если ω > 0, то тело в данный момент времени вращается в положительном направлении отсчета угла поворота φ, т. е. про­тив движения часовой стрелки.

Размерность угловой скорости [ω]=с^-1. В технике угло­вую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обо­значают буквой n. Замечая, что n об/мин соответствует n/60 об/с и что 1 оборот соответствует 2π радианам, получим:

c^-1 (6)

Эту меру быстроты изменения угловой скорости можно получить как предел приращения угловой скорости к приращению времени:

(7)

Эту меру быстроты изменения угловой скорости можно получить как предел приращения угловой скорости к прираще­нию времени:

(8)

Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скоро­сти или второй производной от угла поворота.

Размерность углового ускорения [ε] = с^-2. Если знаки уг­ловой скорости и углового ускорения одинаковы, то вращение тела в данный момент ускоренное, если же знаки ω и ε различны, вращение замедленное.

13. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Вращение тела называют равномерным, если угловая скорость тела постоянна, т.е. ω =const.

В этом случае:

(1)

Произвольную постоянную С определяем из начального условия . В результате находим С = φ_0. Тогда:

φ = φ₀ + ωt (2)

Равенство (2) называется законом равномерного враща­тельного движения твердого тела. При φ₀=0 это равенство уп­рощается.

Равнопеременным вращением называется такое враща­тельное движение тела, при котором его угловое ускорение по­стоянно, т.е. ε = const ≠ 0. В этом случае:

, , (3)

Из начального условия находим С₁ = ω_0. Тогда ω = ω₀ + εt (4)

Равенство (4) называется законом изменения угловой скорости при равнопеременном вращательном движении тела. Далее

, , (5)

Из начального условия находим С₂ = φ₀.

Тогда окончательно

(6)

Равенство (6) называется законом равнопеременного вращательного движения твердого тела. Легко заметить анало­гию между полученными формулами (2) и (6) и формулами рав­номерного и равнопеременного движения точки. Соответствую­щие формулы совпадают с точностью до обозначений.

14. СКОРОСТЬ ТОЧЕК, ВРАЩАЮЩИХСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Пусть вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением

(1)

Найдем распределение скоростей точек тела при его вращении. Воспользуемся при этом естест венным способом за­дания движения точки. Рассмотрим движение какой-нибудь точ­ки М тела. При вращении тела точка М будет описывать окруж­ность, радиус которой обозначим R (рис. 2.21).

Составим уравнение движения точки М по ее траекто­рии. За начало отсчета примем начальное положение М₀, а за по­ложительное направление дуги s - направ­ление отсчета угла поворота φ. Тогда урав­нением движения точки М по ее траектории будет

S = M₀M = Rφ (2)

а следовательно, проекция скорости точки М на направление касательной определится следующим образом:

(3) или

(4)

Эту скорость точки М, в отличие от угловой скорости тела, часто называют линейной скоростью. Та­ким образом, линейная скорость какой-либо точки вращающего­ся твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Вектор v скорости точки М направлен по касательной к окружности, которую описывает точка М, т.е. перпендикулярен к радиусу этой окружности. Модуль v вектора скорости v равен

. (5)

Так как угловая скорость ω является кинематической ха­рактеристикой всего тела в целом, то из формулы (5) следует, что скорости точек тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.

15. УСКОРЕНИЕ ТОЧЕК, ВРАЩАЮЩИХСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Ускорение точки М находим, определив сначала каса­тельное и нормальное ускорения:

(6)

Тогда модуль полного ускорения точки М:

(7)

Угол, образованный вектором ускорения точки М с ра­диусом описываемой точкой окружности, определяется так:

(8)

Из формулы (8) следует, что ускорения точек вращающе­гося тела образуют в данный момент один и тот же угол α с ра­диусами описываемых ими окружностей. В частном случае рав­номерного вращения ε=0, поэтому α=0 и, следовательно, полное ускорение по модулю равно нормальному и направлено к оси вращения.

16. векторная формула для скорости точек тела, вращающихся вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг непод­вижной оси Oz с угловой скоростью . Определим скорость произвольной точки М этого тела. Введем прямоугольную систему координат с началом на оси вращения и неизменно связанную с те­лом (рис. 2.22). В этом случае

r = x(t)i + y(t)j + z(t)k(1)

Здесь следует заметить, что в разло­жении (1) х, у, z и вектор к постоянны, т.е. не зависят от времени, а i и j зависят от времени, так как вращаются вместе с телом.

Тогда для скорости точки М имеем

(2)

Производные от единичных векторов, входящие в формулу (2), есть скорости концов этих векторов. Например, при φ > 0 вектор скорости конца i направлен парал­лельно j в положительном направлении оси Оу, а вектор скорости конца j направлен параллельно iв отрицательном направлении оси Ох. Модуль каждой из этих скоростей равен .

Тогда ,

Далее, учитывая, что , а , получим

, а (3)

Подставляя формулы (3) в равенство (2) и используя то, что , найдем:

(4)

Назовем вектор вектором угловой скорости ω, тогда . (5)

Как видно из равенства (5), вектор угловой скорости те­ла направлен вдоль оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с его конца, видел вращение тела против хода часо­вой стрелки.

Вектор со можно расположить в любом месте оси враще­ния, т.е. СО - скользящий максиальный вектор.

Перепишем теперь формулу (4) с учетом (5), тогда

(6)

Вектор скорости любой точки тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведен­ный из произвольного центра, взятого на оси вращения.

Формула (6) называется формулой Эйлера.

Примечание. Так как , то из (6) следует, что если

вектор r изменяется со временем только по направлению, то

, (а)

где ω - угловая скорость поворота вектора r. Формула (а) опре­деляет правило дифференцирования вектора, постоянного по модулю. Аналогично из равенств (3) и (5) получаем:

(б)

Модуль скорости точки М:

(7),

что совпадает с формулой (5) по времени, получим вектор углового ускорения:

(8)

Вектор углового ускорения ε, так же как и вектор угло­вой скорости ω, лежит на оси вращения. При этом в случае ус­коренного вращения вектор ε направлен в ту же сторону, что и вектор ω, в случае же замедленного вращения вектор ε направлен в сторону, противоположную вектору ω.

Для определения проекций скорости точки М на оси вы­бранной подвижной системы координат представим формулу (6) в виде определителя третьего порядка:

. (9)

Отсюда:

, , . (10)

Равенства (10) определяют проекции скорости любой точки М вращающегося тела на выбранные оси координат.

Выведем теперь векторную формулу для определения ускорения произвольной точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для этого продифференцируем равенство (6) по времени. В результате получим

(11) , или (12)

Из рис. 2.23 видно, что вектор направлен по каса­тельной к траектории, а вектор - по радиусу МО₁, т.е. по главной нормали к траектории. Следовательно,

, (13)

Из формул (13) находим:

Т.е. приходим к известным ранее равенствам. Далее, если взять систему осей координат Oxyz, в которой ось z направлена вдоль оси вращения, и представить a_nв виде a_n=-ω²∙O₁M, то, согласно (12) и (13)

(14)

Отсюда получаем:

, , . (15)

Равенства (15) дают проекции ускорения любой точки М(х, у, z) вращающегося тела на выбранные оси координат.

1. Докажите формулу распределения скоростей точек плоской фигуры.

Пусть плоская фигура движется относительно неподвижной системы координат Оху. В этой системе положения полюса А и произвольной точки В определяются соответственно радиус-векторами и . Между этими векторами и и вектором в любой момент времени имеет место следующее соотношение: (1).

Вектор определяет положением произвольной точки В относительно системы , перемещающейся вместе с полюсом А поступательно. Подчеркнем еще раз, что движение сечения по отношению к осям представляет собой вращение вокруг полюса А.

Дифференцируя обе части равенства (1) по времени, получим: (2).

В полученном равенстве (2) , . Что же касается , то это - скорость, которую точка В получает при вращении вокруг полюса А. Обозначим эту скорость через .

Вектор есть постоянный по модулю вектор, изменяющийся при движении фигуры только по направлению. Для него справедлива формула: . Тогда формула распределения скоростей примет вид: или .

Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости другой, произвольно выбранной и принятой за плюс, точки А и скорости точки В в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса. Вектор направлен перпендикулярно АВ в сторону вращения фигуры, а по модулю эта скорость определяется так: .

Таким образом, определив вращательную скорость точки В вокруг полюса А и зная скорость этого полюса, мы можем найти искомую скорость точки В как диагональ параллелограмма, построенного на скоростях и .

Поиск по сайту: