Диск радиуса м вращается вокруг касательной O1O2(рис. 3.2) с угловой скоростью (рад/c). По ободу диска движется точка M согласно уравнению (м).
Определить абсолютные скорость и ускорение точки в момент времени (c).
Решение. Выберем неподвижную и подвижную системы отсчета. Неподвижную систему отсчета Сxyz связываем с неподвижным телом, отмеченным на рис. 3.3 штриховкой. Подвижную систему отсчета Dx|y|z| связываем с диском (переносящим телом), который вращается с переносной угловой скоростью .
Таким образом, окружность радиуса м – относительная траектория точки М, а уравнение – уравнение относительного движения точки.
Рис. 3.3
М
Расчет скоростей.
Положение точки М при c определяется центральным углом:
(рад),
что соответствует 120o(см. рис. 3.3).
Относительная скорость точки М равна:
При c
м/с.
Вектор Vr направлен по касательной к относительной траектории – окружности ( см. рис. 3.3).
Переносную скорость Ve точки М определим как абсолютную скорость точки М| диска, с которой в момент времени c совпала движущаяся точка М. Имеем:
.
При c
рад/с, м.
Окончательно:
м/с.
Вектор Ve направлен перпендикулярно плоскости диска в положительном направлении оси Сх ( см. рис. 3.3).
По теореме о сложении скоростей:
(3.1)
В рассматриваемом примере векторы относительной и переносной скоростей взаимно перпендикулярны, следовательно, модуль абсолютной скорости можно определить по теореме Пифагора:
м/с.
Модуль абсолютной скорости Va точки М можно также определить методом проекций. Проецируя обе части векторного равенства (3.1) на неподвижные оси координат, имеем:
м/с,
м/с,
м/с.
Тогда
м/с.
Направляющие косинусы вектора равны:
.
Расчет ускорений:
Запишем векторное равенство, выражающее теорему о сложении ускорений при вращательном переносном движении
(3.2)
где и – нормальная и касательная составляющие переносного ускорения точки, и – нормальная и касательная составляющие относительного ускорения точки, – ускорение Кориолиса.
Переносное вращение происходит с угловым ускорением:
.
При c
рад/с2.
Векторы ωe и εe направлены в одну сторону вдоль оси вращения O1O2 (см. рис. 3.3).
Переносное нормальное ускорение aen точки М равно абсолютному нормальному ускорению точки М| диска:
м/с2.
Вектор aen направлен вдоль прямолинейного отрезка МЕ к оси вращения диска ( см. рис. 3.3).
Переносное касательное ускорение aeτ точки М равно абсолютному касательному ускорению точки М| диска:
м/с2.
Направление вектора совпадает с направлением вектора Ve, так как векторы ωe и εe направлены в одну сторону ( см. рис. 3.3).
Относительное нормальное ускорение arn точки М определяем по формуле:
м/с2.
Относительное касательное ускорение arτ точки М равно производной по времени от относительной скорости Vr:
При c
м/с2.
Направление вектора arτ совпадает с направлением вектора Vr (см. рис. 3.3).
Вектор arn направлен вдоль радиуса к центру диска (см. рис. 3.3).
Модуль ускорения Кориолиса точки М находим по формуле:
направлено перпендикулярно плоскости диска в отрицательном направлении оси Сх (см. рис. 3.3).
Проецируя обе части векторного равенства (3.2) на оси координат, находим:
м/с2,
м/с2,
м/с2.
Модуль ускорения точки М равен:
м/с2.
Направляющие косинусы вектора равны:
.
4. Расчетно-графическая работа №3 Плоскопараллельное движение твердого тела
Содержание задания расчетно-графической работы
4.1.1. Построить положение механизма (вариант схемы выбрать из рис. 4.1) по заданным размерам и углам, приведенным в табл. 3.
Примечание. В вариантах 2, 3, 9, 15, 16, 21, 24, 25, 27 заштрихованные треугольники считать равносторонними, в вариантах 11, 23, 29 плоскую фигуру считать прямоугольником, а в вариантах 8, 14, 19 – круговым диском, катящимся без скольжения.
4.1.2. По заданной угловой скорости ведущего звена, для заданного положения механизма определить линейные скорости всех изображенных точек и угловые скорости его звеньев.
4.1.3. По найденным в п.п. 4.1.2 величинам угловых скоростей звеньев и заданной величине углового ускорения ведущего звена, определить линейные ускорения точек, изображенных на схеме, и угловые ускорения звеньев механизма.