Сила, що діє на матеріальну точку масою , яка здійснює коливання:
, (9.4)
- зміщення точки з положення рівноваги.
Кінетична енергія точки, що здійснює прямолінійні гармонічні коливання
(9.5)
Потенціальна енергія точки, яка здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили :
(9.6)
Механічна енергія:
. (9.7)
Диференціальне рівняння гармонічних коливань матеріальної точки масою :
або , (9.8)
- зміщення точки з положення рівноваги. - коефіцієнт пружності; - циклічна частота.
Розв’язок цього рівняння
. (9.9)
Період коливань математичного маятника
, (9.10)
- довжина маятника; - прискорення вільного падіння.
Період коливань пружинного маятника:
, (9.11)
- маса тягарця пружинного маятника; - жорсткість пружини.
Період коливань фізичного маятника:
, (9.12)
- момент інерції маятника відносно осі коливань; - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника; - зведена довжина фізичного маятника; - прискорення вільного падіння.
Амплітуда результуючого коливання, що одержується при додаванні двох гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти:
. (9.13)
Початкова фаза результуючого коливання:
, (9.14)
і - амплітуди двох коливань, що додаються; і - початкові фази коливань.
Період биття:
, (9.15)
- різниця частот коливань, що додаються .
Рівняння траєкторії руху точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти (рівняння еліпса):
(9.16)
і - амплітуди коливань, що додаються; - різниця фаз обох коливань.
Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язок:
, (9.17)
- зміщення тіла, що коливається від положення рівноваги; - коефіцієнт згасання; - власна частота коливної системи; - частота згасаючих коливань; - амплітуда згасаючих коливань.
Декремент згасання
(9.18)
і - амплітуди двох послідовних коливань, що відрізняються на період.
Логарифмічний декремент згасання
(9.19)
і - амплітуди двох послідовних коливань, що відрізняються на період. - коефіцієнт згасання; - період згасаючих коливань; - час релаксації; - число коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в разів.
Добротність коливної системи:
(9.20)
- логарифмічний декремент згасання; - циклічна частота вільних незгасаючих коливань тієї ж коливної системи; - коефіцієнт згасання.
Диференціальне рівняння вимушених механічних коливань і його розв’язок для усталених коливань
, (9.21)
- зміщення тіла, що здійснює коливання, з положення рівноваги; - амплітуда вимушуючої сили; - маса тіла
, (9.22)
- власна частота тієї ж коливної системи; - частота зовнішньої вимушуючої сили; . - коефіцієнт згасання.
Резонансна частота і амплітуда
, (9.23)
- власна частота тієї ж коливної системи;. - коефіцієнт згасання, - амплітуда зовнішньої вимушуючої сили; - маса тіла.
Пружні хвилі
Зв'язок між довжиною хвилі , періодом коливань і частотою
, (9.24)
- швидкість поширення коливань в середовищі (фазова швидкість)
Хвильове число
(9.25)
- довжина хвилі; - фазова швидкість; - період коливань.
Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж додатного напрямку осі :
(9.26)
- зміщення точок середовища з координатою в момент часу ; - амплітуда хвилі; - циклічна частота; - хвильове число; - початкова фаза коливань.
Рівняння сферичної хвилі
(9.27)
- зміщення точок середовища на відстані від центра хвилі в момент часу ; - стала величина; - циклічна частота; - хвильове число; - початкова фаза коливань.
Хвильове рівняння
(9.28)
- оператор Лапласа; - фазова швидкість.
Хвильове рівняння для плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі
(9.29)
Фазова і групова швидкості і зв'язок між ними:
; ; (9.30)
- циклічна частота; - хвильове число; - довжина хвилі.
Зв'язок між різницею фаз і різницею ходу хвиль :
(9.31)
Умови максимуму і мінімуму амплітуди при інтерференції хвиль
, (9.32)
; - довжина хвилі.
Рівняння стоячої хвилі
. (9.33)
Координати пучностей і вузлів стоячої хвилі
, (9.34)
Ефект Допплера в акустиці
(9.35)
- частота звуку, що сприймається рухомим приймачем; - частота звуку, що посилається джерелом; - швидкість руху приймача; - швидкість руху джерела; - швидкість поширення звуку. Верхній знак беруть, якщо при русі джерела чи приймача відбувається їх зближення, нижній знак – у випадку їх віддалення.
Швидкість поздовжніх хвиль в тонких стержнях:
(9.36)
- модуль пружності, - густина матеріалу стержня.
Швидкість звуку в газах:
(9.37)
і - тиск і густина газу, не збуреного хвилею; - відношення теплоємності газу при сталому тиску до теплоємності при сталому об’ємі.
Амплітуда звукового тиску і амплітуда швидкості частинок у звуковій хвилі пов’язані співвідношенням:
(9.38)
Інтенсивність звуку , тобто енергія, що переноситься звуковою хвилею за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напрямку поширення хвилі, виражається через амплітуду звукового тиску:
(9.39)
- густина газу.
Рівень інтенсивності звуку (в децибелах) визначається формулою
(9.40)
- інтенсивність даного звуку; Вт/м2 – інтенсивність звуку на порозі чутності при стандартній частоті Гц.
Рівень гучності звуку (в фонах) обчислюється за формулою
- інтенсивність звуку частоти Гц, що має однакову гучність з досліджуваним звуком.